龚柏兹曲线模型

t
1 b
或由（ 1 ）可得： lg yt lg k bt lg a 则有： lg yt k1 a1bt
（ 2） （ 3）
结论：
龚柏兹曲线类似于修正曲线。
龚柏兹曲线的几种类型图
yt
0＜a＜1 ，0＜b＜1
yt
0＜a＜1，b ＞ 1
y k
y k
y0=K
yt
y k
图（a）成长期和成熟前期 a ＞ 1 ，b ＞ 1
Market survey & Forecast 市场调查与预测
(7)
制作：陈晓慧
武汉理工大学出版社
2009年4月
第七章
生命曲线预测方法
生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段， 在这三个阶段中生物生长速度是不一样的，例如,南瓜 的增长速度，在第一阶段增长较慢，在成长时期则突 然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条S形曲线， 这就是有名的生长曲线（增长曲线）。 生命曲线也可以是描述经济指标随时间变化呈某种生 物变化规律的一种曲线。
天 克 2
120
4
200
6
400
8
1000
10
2600
12
3300
14
3800
16
4300
18
4900
20
5100
22
5300
24
5400
重 量
天
图5-2 南瓜重量生长曲线
例3
销 量
导入期 成长期
成熟期
衰推期
t
典型产品生命周期曲线
补充知识：n阶差分
一阶差分
二阶差分
y t y t y t 1 y t y t y t1 yt
结论:
当时间序列yt的环比指数大体相等，或时间序列 的对数一阶差分近似为一常数，可用简单指数曲线来 拟合实际曲线。
（二）修正指数型增长曲线模型
1、其模型为： y
t
k ab
t
（5）
其一阶差分为： yt yt yt 1 (k abt ) ( k abt 1 ) abt 1 (b 1) yt abt 1 (b 1) 一阶差分环比为： t 2 b yt1 ab (b 1)
k＞0，a ＞ 0，0＜b＜1
图（c） 衰退期
t
图7-6 修正曲线的几种类型
Leabharlann Baidu
图(d) 饱和后期
t
（三）龚柏兹曲线模型
其模型为：
bt
yt yt yt 1 yt ka ka
t
yt ka
b t 1
t 1
bt
（ 1）
yt kab kab kab (1 a ) 1 1 常数 t 1 t 2 1 1 b b yt1 ka ka b t 1 b2 ka (1 a ) a b (1 a b )
t
图7-12
罗吉斯曲线拐点左侧呈上凹趋势，过了该拐点后 曲线转变为向下凹趋势。 （1）当t=0时， 有：yt =1/k+a，则yt =0和yt =1/k 都是罗吉斯曲线的渐进线。 （2）当t→∞时， yt →1/k 当t→-∞时， yt →0 罗吉斯曲线形状与龚柏兹曲线形状很相似，它所 描述的经济变量的变化规律也是开始缓慢增长，而后 逐渐加快，达到拐点后，增长率减缓，最后达到一临 界值。
（四）生命曲线预测法
是利用收集到的产品销售量的数据，组成一组时间序列， 拟和某种成长曲线，对产品市场生命周期进行分析预测的方法。 生命曲线预测法比一般直线趋势有着更广泛的应用，因为它可 以反映出现象的相对发展变化程度。 常用的生命曲线是指修正曲线、龚柏兹曲线、罗吉斯曲线。 利用这三种曲线可描述产品市场生命周期的不同阶段，从而揭 示产品生命周期销售何时由某一阶段向另一阶段的转变，预测 产品的市场需求潜量、最大销售量以及达到饱和状态的时间等。 增长曲线预测方法有三和法、三点法、最小二乘法等。当极限 值k可确定，可采用最小二乘法可简化计算；不能确定时就用三 和法或三点法。但三点法用在时间序列数据收集不全的情况下 下面就重点介绍三和法。
在市场预测中，经常会碰到预测对象在其发展过程中呈现 出与生物类似的发展过程。即在成长期快速增长、成熟（饱和 期增长放慢）、衰退等各种不同形态。例如新技术、新产品的 开发和更新换代过程，需求增长规律等均可用生命曲线来描述。 这种方法是根据时间序列变化的历史数据，运用三和法、三点 法。
第一节 生命曲线的概念与一般模型 一、例子 1、人类成长的生命曲线
结论
∴ 当时间序列 yt 的环比指数大体相等或大体相等时， 可用修正指数曲线来拟合实际曲线。
修整曲线模型的几种类型图
yt
y k
k＞0，a＜0，0＜b＜1
k＞0，a ＞ 1，b ＞ 1
yt
y0 k
图（a）饱和期
y0=K+a
t
图(b) 成长期
t
yt
y0 k
k＞0，a＜0，b ＞ 1
yt
y k
( 3)
y t y t 1
三阶差分
一阶差分环比指数
y t y t1
注意：增长曲线模型在理论上的变化规律都遵循着
一阶差分 、二阶差分 、三阶差分 、一阶差分 环比指 数为一常数的特征。
指 数 型 增 长 模 型
二、成长曲线预测模型的基本类型 （一）简单指数型增长曲线模型 t 简单指数型增长曲线模型为： yt ab 其中：a,b—参数， t—时间序列, 0 ＜ b＜ 1 yt— 经济目标值 如图 所示 （1）
例1
人类身高的成长曲线的生长规律如表5-1所示 年龄 身高 3 6 9 112 12 140 15 168 18 172 21 176 24 178 48 76 单位：cm 27 180 30 181
身 高
图5-1人身高成长曲线
年龄
2、生物生长的生命曲线
例 2
如表5-2 是南瓜重量随时间变化的生长曲线。
b＞ 1
( 0，a)
t
图 简单指数型增长曲线图
将（1）取对数，有：
lg a, lg b lg yt t
lg yt lg a t lg b
（2）
（3） 由（3）可知：①其曲线方程为一条直线。 ②为一阶差分为一常数。即：
lg yt lg yt 1 t (t 1) lg b
t
yt
t
图(b) 成长期后半期和衰退期 a ＞ 1， 0＜b＜1
t
y0=K
图（c）成长期
y k
图(d) 衰退期
t
（四）罗吉斯曲线其曲线模型
1 yt k abt 1 k abt yt
(9) (10)
式中：k,a,b为待定参数.由（9）可得一阶、二阶导数为： yt =0 abt ln b
yt yt (k ab )
t t 2 2 t
yt
ab (ln b) (k ab ) (k abt )3
y∞ =1/k
k ＞0，a＞1 0＜b＜1
取yt 0, 可得曲线的一拐点为： y0=1/(k+a) ln k ln a 1 t , yk ln b 2k