轴扭转计算
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第5章扭转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系ห้องสมุดไป่ตู้为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图5.11所示，式中 可利用静力方程确定。
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。
图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。
图5.3
图示5.4，挖掘机的传动轴。
图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。
图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵横截面上的半径仍保持为直线；
⑶各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为 的微段进行研究，如图5.10（a）所示。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为 ，即
5.3.1实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩 ，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度 。
塑性材料
脆性材料
例题5.2汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径 ，壁厚 ，工作时的最大扭矩 ，若材料的许用切应力 ，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比
抗扭截面系数为
2、计算轴的最大切应力
3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力 和扭矩有如下静力学关系
将（5.3）式代入
式中， 称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当 时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）
式中， 称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
例题5.1图示传动轴，转速 ，A轮为主动轮，输入功率 ，B、C、D为从动轮，输出功率分别为 ， ， ，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩
2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
， 为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图
例题5.1图
5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
5.3.2极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为 处取厚度为 的环形面积作为微面积dA，于是 ，从而可得实心圆截面的极惯性矩为
抗扭截面系ห้องสมุดไป่ตู้为
如为图（b）空心圆轴，则有
式中 为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为
极惯性矩 的量纲是长度的四次方，常用的单位为 或 。抗扭截面系数 的
量纲是长度的三次方，常用单位为 或 。
（a）（b）
图5.12
5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力 ，即
对于等截面圆轴，表示为
上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力 和许用拉应力 有如下近似的关系。
内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。
图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是 或 。
5.2.2扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在 轴上方，负值扭矩画在 轴下方。这种图形称为扭矩图。
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离 成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系
将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力 与该点到圆心的距离 成正比，其分布如图5.11所示，式中 可利用静力方程确定。
图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段 变为 ， 和 的夹角为 （切应变）， 对应横截面的圆心角 ，在小变形的条件下可以建立如下关系。
为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为 的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。
图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
（5.1）
式中m----作用在轴上的外力偶矩，单位为 ；
N-----轴传递的功率，单位为 ；
n------轴的转速，单位为r/min。
图5.7
5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为 ，求距A端为x的任意截面 上的内力。假设在 截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件 ，得内力偶矩T和外力偶矩 的关系