华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A卷)矩阵论答案解析

华北电力大学硕士研究生课程考试试题

（A卷）(2013-2014)

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(X)

见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后

者小于等于n

2. 设12

,,,m ααα是线性无关的向量,则 12dim(span{,,,})m m ααα=.

正确，线性无关的向量张成一组基

3.如果12,V V 是V 的线性

子空间,则1

2V V ⋃也是V

的线性子空间.

错误，按照线性子空间的定

义进行验证。

Aλ是可逆4. n阶λ-矩阵()

Aλ的充分必要条件是()

的秩是n .

见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A

的最小多项式没有重根. 见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）

（6）210021,

003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则

A

e 的Jordan 标准型为223e 100e 0,00e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭。

首先写出

A

e

然后对于

若当标准型要求非对角元部分为1.

（7）

301

002

030λ

λ

λ

-

⎛⎫ ⎪

+ ⎪ ⎪

-

⎝⎭

的Smith标准型为

10003000(3)(2)λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+⎝⎭

见书61-63页，将矩阵做变换即得

（8）设

1000.10.30.200.40.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

，

则

100lim 000000n n A →+∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。

见书109页，可将A 对角化再计算即得。 （9）2345⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 在基

11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

下的坐标为(1,1,2,1)T

。

见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A 的逆乘以自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。因此不

用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）

就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。

（10）设

423243537A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭

，则

A ∞= 15。

见书100页，计算每行的绝对值的和。

（11）

20211123x x x x x e x x →-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝⎭sin cos ln()lim sin

=2003⎛⎫ ⎪⎝

⎭。 对矩阵中的每个元素求极限。

12设

,,m n p q m q A R B R C R

⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程

AXB C =的极小

范数最小二乘解是

+()T X A B C =⊗

见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。

（12）若n 阶方阵A 满足

30A =，则

cos A = 212E A - 。

见书121页，3

0A =，所

以后面的项都为零。

（13）方阵A 的特征多项式是33

(2)(3)(5)λλλ---，

最小多项式是 2

(2)(3)(5)λλλ---，则A 的Jordan 标准形是

3((2,1),(2,2),3,5)diag J J E 特征多项式决定了A 的阶

数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个1阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。

三(7分)、设

1213200102171,012225018202140A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，

证明AX XB C +=有唯一

解。

见书114页，本题需要验证

A 和-

B 没有相同的特征值，具体解法如下。

证明：

33+T A E E B ⊗⊗非奇异。

显然,B -的特征值为2,1,2--,下证明：2,1,2--不是A 的特征值：

（1） 方法1：用圆盘定理。

A 的三个行圆盘分别是

(12,4),(7,2),(8,1)

B B B -,

2,1,2--都不在

(12,4)(7,2)(8,1)B B B ⋃⋃- 中，因此A 与B -没有相同的特征值，从而0不是33+T

A E E

B ⊗⊗的特征值，故33+T A E E B ⊗⊗可

逆，从而

AX XB C +=有唯一解。

（2） 方法2：求出A 的

特征多项式，再证明

2,1,2--不是A 的

特征值。

方法3：直接写出

33+T A E E B ⊗⊗，再证明

它非奇异。