正十七边形的画法
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备注二
黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。
备注三
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
步骤一：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
在OB上作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线Baidu NhomakorabeaA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
解之可有:
(大家自己解解吧~~~~)
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,
故正17边形可用尺规作出。
sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，
P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
备注一
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。）
黎西罗给出了正257边形的尺规作法，写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法，此手稿整整装满了一只手提箱，现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。
备注三
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
步骤一：
给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，
在OB上作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线Baidu NhomakorabeaA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
解之可有:
(大家自己解解吧~~~~)
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,
故正17边形可用尺规作出。
sin16a=2sin8acos8a=2方sin4acos4acos8a=2的4次方sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，
P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
备注一
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是，该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说，只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来，其它的正质数多边形就不可以了。（除非我们再发现另一个费马质数。）