函数极值的求法及其应用

目录
摘要 (2)
ABSTRACT (2)
第一章引言 (4)
第二章一元函数的极值 (5)
2.1极值的充分条件 (5)
2.2几种特殊函数的极值 (8)
第三章多元函数的极值 (12)
3.1无条件极值 (13)
3.2条件极值 (15)
第四章函数极值的应用 (19)
参考文献 (24)
致谢 (25)
函数极值的求法及其应用
曾浪
数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵
摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。

本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。

关键词：函数；极值；应用
The extreme of function of religion and its application
Zeng Lang
Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui
Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.
Key word: function; the extreme; application
The extreme of function of religion and its application
Zeng Lang
Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui
Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.
Key word: function; the extreme; application
第一章引言
函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。

那么什么是极值呢？现实生活中我们常常遇到的如何使用料最省、路径最短等这样的问题，就属于极值问题。

在学习生活中，我们常常遇到这样的问题：如证明在圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小；给定某个特定的函数，求它在某个区间的极值等问题。

对极值问题的研究，在很早以前就有了痕迹。

早在古希腊时，数学家们就研究了等周问题。

在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已经证明了很多几何问题。

在生活中也存在很多求极值的问题。

我们都知道蜂房的构造是很吸引人的。

十八世纪初，法国学者马拉尔琪曾经测量蜂房的尺寸，发现六角形窝洞的六个角都有一致的规律：钝角等于109º28′，锐角等于70º32′。

法国物理学家列奥缪拉由此得到启发：蜂房的形状是不是用料最省，容积最大呢？列奥缪拉去请教巴黎科学院院士数学家克尼格。

这位数学家计算的结果是，要用最少的材料，制作成容积最大的菱形容器，它的角度应该是109º26′和70º34′。

这与蜂房的角度仅差2′。

苏格兰数学家马克劳林又认真再计算一次，得出的结果竟然和蜂房的实际角度完全一致。

后来发现，克尼格并没有错，而是他用的对数表印错了。

一九六四年二月，著名数学家华罗庚在对北京市中学生作报告时指出，蜂窝的构造问题，正确的提法应该是：在密峰的身长，腰围确定的情况下，尖顶六棱柱用料最省。

这样的提法不仅是纯粹的空间形式与数量关系的数学问题，而且这与生物体有机体统一起来了。

从这里我们可以看到，函数极值问题联系着我们的学习和生活。

学习中遇到的极值问题我们在学习导数和微积分相关知识后就可以解决了，生活中的碰到很多的实际问题都可以先建立起数学模型，再转变为我们数学中的问题来解决。

第二章一元函数的极值
在说函数极值之前我们先来谈谈函数。

函数的定义如下:设给定两个变量x 和y，其变动区域为M和N,如果M中的每一个x值，总有一个确定的y值（在N内）和它对应，则变量y称为变量x的函数。

我们从函数的定义我们可以看到，函数主要由三部分组成，变量x的取值范围M，我们称它为函数y的定义域，函数y的取值范围N，我们称它为函数的值域，而函数y与x之间的一一对应关系，我们一般用f(x)表示。

我们生活中的很多实际问题可以归类转化为与函数有关的问题。

那么首先我们先来了解函数极值。

什么是极值呢？假设函数f(x)在x0的某领域内有定义，如果f(x0)的值小于（或者大于）在x0附近的所有各点的函数值，那么称f(x0)是函数f(x)的极小值（或极大值），记作y max=f(x0),(或y min=f(x0)), 在大学数学里，极值的概念就更为精密了。

若函数y= f(x)在（a , b）上有定义且连续，对于一点x0有某一领域(x0-δ，x0+δ)完全含于（a , b）内，对于任意的x∈(x0-δ，x0+δ)，总存在f(x)≤f(x0)，则称y= f(x)在x0处取得极大值，如果总存在f(x)≥f(x0)，则称y= f(x)在x0处取得极小值。

这是最为严格意义上的极值定义即概念。

下面我们从书中的定理入手介绍函数极值的求法。

2.1极值的充分条件
我们学过费马定理知道了如何判别极值，费马定理表述如下：如果函数f在x0可导，且x0为f的极值点，则f′(x0)=0。

这也告诉我们可导函数在点x0取极值的必要条件是f′(x0)=0。

定理2.1 ：设f在点x0连续，在某邻域U0(x0;δ)上可导。

（i）若当x∈(x0−δ,x0)时f′(x)<0，当x∈(x0,x0+δ)时f′(x)>0，则在点x0取得极小值。

（ii）若当x∈(x0−δ,x0)时f′(x)>0，当x∈(x0,x0+δ)时f′(x)<0，则在点x0取得极大值。

评价：华东师范大学版数学分析此定理给出了简单函数的极值的求法及其判别，下面我们举几个例子。

例1 求函数f(x)=2x2−4x+1的极值。

解：因为函数f(x)在上有定义且连续，由题意可以得到f′(x)=4x−4，令f′(x)=0得，当x≤1时，f′(x)≤0，函数f(x)递减；当x≥1时，f′(x)≥0
函数f (x )递增。

所以函数f (x )在x =1 处取得极小值，f (x )min =f (1)=−1 分析：此题展示了如何求已知的一元函数的极值问题，运用到的知识有函数导数的关系，函数的单调性。

我们在求简单的函数的极值时，一般可以先求导函数，令导函数等于零，在求出稳定点，最后判断是极大值还是（极小值）。

例 2 如果函数f (x )=2x 3+3ax 2+3(a +2)x +3既有极大值，又有极小值，a 应该满足什么条件？
解：由题意可以得到f ′(x )=6x 2+6ax +3(a +2)，因为函数f (x )有两个极值。

所以方程6x 2+6ax +3(a +2)=0有两个实数根，所以
∆=b 2−4ac =36a 2−4×6×3(a +2)=36(a 2−2a −4)≥0，
所以求得a <−1−√5,a >−1+√5。

既a 的取值范围为（−∞，−1−√5）∪（−1+√5，+∞）.
解析：本题在已知函数f (x )在有极值的情况下，考察它的导数的到f ′(x )的特性。

把极值问题转化为一元二次方程的根的判别式的问题，这样我们就跟清楚了。

例3 函数f (x )=4x 1+x 2， 求极值。

解： 由题意f ′(x )=
4（1−x 2）（1+x 2）2，令f ′(x )=0得稳定点x =±1，列表讨论如下：
min 值为f (x )max =f (1)=2.
解析：对于复杂函数求极值，我们可以先求出导函数和稳定点，再列出表格，我们就可以的到极值了。

总结：利用一元函数极值的第一充分条件求极值很简单，所对应的函数都是一阶可导的。

那么如果f 是二阶可导的函数呢？我们将在下面讨论。

定理2.2：设f 在x 0某领域U (x 0;δ)上可导，在 x =x 0出二阶可导，且f ′(x )=0，f ″(x )≠0。

（i ） 若f ″(x )<0，则f 在x 0取得极大值； （ii ） 若f ″(x )<0，则f 在x 0取得极小值。

例4 求f(x)=x2+54
x
的极值点和极值.
解：当x≠0时，f′(x)=2x−54
x2=2x3−54
x2
令f′(x)=0，求得稳定点x=3.
又因为f″(3)=2+108
x3
=6>0.
因此由定理2.2得x=3为f的极小值点。

极小值f(3)=153.
分析：此题解决了一阶导数不能求出函数极值的问题，若函数二阶可导，我们可以根据函数在某点的二阶导数的正负性，确定函数在这个点取得极大值还是极小值。

如果我们求出二阶导数仍然没有办法判别出函数的极值，那么我们可以借助更高阶的导数来判别。

定理 2.3：设f 在x0的某邻域存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且f k(x0)=0 (k=0,1,2…,n-1), f n(x0)≠0,则
（i）当n为偶数时，f在x0处取得极值，且当f n(x0)<0，则f在x0取得极大值；f n(x0)>0，则f在x0取得极小值；
（ii）当n 为奇数时，f在x0处不取得极值。

分析：此定理是定理2的扩充。

教材没给出证明。

那么证明如下：
证明：因为f(x)在x0处的n阶泰勒公式为:
f(x)=f(x0)+f′(x)(x−x0)+1
2!
f″(x0)(x−x0)2+⋯+
f(n)
n!
(x−x0)n+
o((x−x0)n).
由于f k(x0)=0 (k=0,1,2…,n-1),所以有：
f(x)−f(x0)=[1
n!
f n(x0)+o(1)](x−x0)n (1)
又因为f n(x0)≠0，δ′≤δ，当x∈U(x0;δ)时，1
n!f n(x0)和1
n!
f n(x0)+o(1)
是同号的。

当n为奇数时，(x−x0)n不能判断它的正负，故不能取得极值；当n 为偶数是(x−x0)n总是正的。

所以当f n(x0)<0时，函数f取得极大值；当f n(x0)>0时，f取得极小值。

例5 求函数f (x )=(x −1)2(x +1)3的极值
解：f ′(x )=5x 4+4x 3−6x 2−4x +1=(x −1)(x +1)2(5x −1)，令f ′(x )=0得稳定点x =−1,15,1. 又f ′′(x )=20x 3+12x 2−12x −4=4(x +1)(5x 2−2x −1)，所以f ′′(−1)=0，x =−1不是f (x )的极值点；f ′′(15)=−
14425<0,故x =15是f (x )的极大值点， 极大值f (15)=34563125，f ′′(1)=16>0，x =1是f (x )的极小值点，极小值为f (1)=0.
到这里判定极值的充分条件就说完了。

那么我们会想会不会遇到有些函数不能够用这些方法呢？答案是肯定的。

我们看看下面的函数。

f (x )={e −2
x 20
x≠0 x=0 ， 很显然，我们可以看到函数f (x )在x =0的处任意阶倒数都等于0，所以不能用判定极值的充分条件。

2.2 几种特殊函数的极值
我们中学阶段我们都学过二次函数，我们知道一元二次函数求极值的方法有很多。

我们就一起来探讨：
1.一元二次函数的一般式为f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，当x =−b
2a 时有极值；
当a <0时，有极大值；当a >0时，有极小值。

而且我们知道一元二次函数的极值有且只有一个。

我们画出二次函数的图像就知道，二次函数的图像是一条抛物线，开口方向向上（或向下），因此它只有一个顶点，这些不难从图上看出。

a >0
a <0
图2.2.1 图2.2.2
那么我们如何来求出二次函数的极值呢？最简单的方法就是图像法，从图像中可以直观地看到。

图像的最高点就是函数的极大值，图像的最低点就是函数的极小值。

下面说说不用画出函数图像就可以求出函数的极值。

（1）配方法：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，我们经配方的
变形后变为：f(x)=a(x+b
2a )
2
+4ac−b2
4a
当a<0时，函数有极大值,f(x)max=f(−b
2a )=4ac−b2
4a
当a>0时，函数有极小值，f(x)min=f(−b
2a )=4ac−b2
4a
.
（2）判别式法：因为二次函数的极值只有一个，我们把函数式子变形之后再求二次函数的极值还可以发现用判别式法：f(x)=ax2+bx+c (a≠0)的极值，我们可以把方程y=ax2+bx+c (a≠0)改写为：
ax2+bx+（c−y）=0 (a≠0)
显然这是关于x的一元二次方程。

其x必有实数根。

则判别式:
∆=b2−4a(c−y)≥0，解出y得：
4ay≥4ac−b2
若a<0，则y≤4ac−b 2
4a ；若a>0，则y≥4ac−b
2
4a。

（3）导数法：第一节已经介绍了，这里不再叙述。

了解了一元二次函数的极值的求法后，我们遇到的很多一元函数都可以利用换元法将问题转化为与一元二次函数有关问题来求解。

现在我们一起来解决下面几个实际问题。

例1 求函数f(x)=4sin x−cos2x−1的最值。

分析：这是有关三角函数求最值的问题，很显然我们都知道我们要把这个化为如下两种形式：f(x)=Asin(ωx+φ)+a f(x)=A cos(ωx+φ)+a.但是这个题我们很难出化解出这样的形式，那么还有没有其他的思路呢？
解：f(x)=4sin x−cos2x−1 =4sin x−[1−2(sin x)2]−1
=2(sin x)2+4sin x −2
=2[(sin x)2+2sin x −1]
=2(sin x +1)2−4
因为sin x 的值域是(−1,1)，所以当sin x =1，f(x)max =4;当sin x =−1，f(x)min =−4
分析：本题我们把本属于求三角函数的最值问题经过恒等变形转化为求二次函数最值问题，显然变得一目了然了。

例2 求出函数 f (x )=x 2−x +3的极值.
解：将函数配方得f (x )=(x −12)2+
114，所以当x =12时，函数f (x )取得极小值， 极小值为114.
分析：在求二次函数最值问题一定注意函数的定义域，以及在区间中的最值问题.
2.形如有理分函数y =ax 2+bx+c a ′x 2+b ′x+c ′的极值。

观察这种函数我们会发现是与二次函数有关的。

将函数变形为：
(ay −a ′y )x 2+(by −b ′y )x +(cy −c ′y )=0
这是关于x 的一元二次方程，若y 有极值，则x 必有实数解。

那么关于x 的一元二次方程的判别式：
∆=((by −b ′y ))2−4(ay −a ′y )(cy −c ′y )≥0
解出y 的值。

从而求函数的极值。

这种方法这是用最高次幂为二次的函数，因为是根据判别式∆来讨论函数的值域的问题，因此只能解决最值问题。

例3 求函数y =x 2−4x 2−2x−3的极值。

解：我们把函数变形为如下一个关于x 的一个一元二次方程：
(y −1)x 2−2y.x −3y +4=0 (1)
若方程（1）有实数解x,则判别式: ∆=4y 2−4(y −1)(−3y +4)=16(y −78)2+154≥0,
因此对一切实数x ，y 都恒成立。

即y 的值域为(−∞，+∞)。

所以y 没有极值，也没最值。

如图： 图2.2.2
例4求函数y =x 2−4x 2+2x+3 的最值.
解：将函数变形为(1−y )x 2−y.2x −3y −4=0 .
若方程有实数解，则
∆=4y 2−4(1−y )(−3y −4)=−5y 2−28y +16≥0,
解得7−2√69
−5≤y ≤7+2√69−5.所以y 说我最值就求出来了.
3.形如函数y =mx +n√ax 2+bx +c 的极值.
首先，我们要注意此类函数的定义域，即ax 2+bx +c ≥0。

我们函数变形为：
y −mx =n√ax 2+bx +c ，两边同时平方整理后得到关于x 的一元二次方程：
(an 2−m 2)x 2+(bn 2+2my )x +cn 2−y 2=0
一般的，如果an 2−m 2≠0，且x 有实数解。

则判别式：
∆=(bn 2+2my )2−4(an 2−m 2)(cn 2−y 2)≥0
解出该不等式的解集就是函数的值域，就可以求出函数的极值了。

例5 求函数y =x +√x 2+3x +2 极值。

解： 函数的定义域为[−∞，−2)U[−1，+∞).将y =x +√x 2+3x +2 移项后再
平方得：
(3+2y )x =y 2−2
这是关于x 的一次方程，因此不能用判别式求解。

很显然3+2y ≠0，,即y ≠−3
2.
所以x =y 2−23+2y
，又x ∈[−∞，−2)∪[−1，+∞)。

所以y 2−23+2y ≤−2，y 2−23+2y ≥−1. 解得y <−32,y >−32.即函数的值域为(−∞，−32)∪(−32,+∞).
分析：此题利用函数的定义域解出了函数的值域，从而知道了函数的最值。

例6求函数y =x +2√x 2−5x +2 极值.
解：解不等式x 2−5x +2≥0.我们可以知道此函数的定义域为
y <5−√172,y >5+√√172
现在把函数变形为y −x =2√x 2−5x +2.
两边同时平方整理得：3x 2+(2y −20)x +8−y 2 （1）
由题可知，x 有实数解。

则关于x 的一元二次方程（1）的判别式
∆=(2y −20)2−12(8−y 2)≥0
解得：y ≤−3,y ≥−2.所以当y <
5−√172时，函数有最大值-3；当y >5+√√172时，
函数有最小值-2.
第三章 多元函数的极值
多元函数可以说是一元函数的推广，它和与一元函数有很多类似的地方，也保留了很多一元函数所具备的性质。

而多元函数的极值问题是学习了多元函数微分学之后需要学习的一个重要应用。

它解决了生活中的很多实际问题。

我们先来看看多元函数的定义。

这里我们先从二元函数开始，n 元函数我们可以类似的推广。

二元函数的定义是：如果对于变量x,y 的变化区域内的每一对数值(x,y )，依照某种确定的规律或者法则，都对应一个确定的值z,则称z 是x,y 的（二元函数），记作z =f (x,y )，或者z =φ(x,y )等。

当然变量x,y 叫做自变量，而自变量x,y 的取值范围叫做函数的定义域。

而与x,y 相对应的函数值所组成的集
合，叫做函数的值域。

二元函数（一般地说多元函数）在给定区域上的最大值或最小值可以在该区域的某一内点上达到，也可以在边界点达到。

所以多元函数的极值可以定义为：设函数z=f(x,y)定义在区域（G）上，又设(a,b)是这区域的一个内点，若f(a,b)≥f(a+ℎ,b+ℎ)，f(a,b)≤f(a+ℎ,b+ℎ)，其中ℎ,k是任意的。

只要|ℎ|，|k|充分小，则我们称函数z=f(x,y)在点(a,b)达到极大值（极小值）。

而(a,b)称为极值点。

这些都与一元函数有类似之处，那么多元函数的极值问题会不会也有相似之处呢？下面我们一起来看看如何来求函数的极值的？
3.1 无条件极值
与一元函数一样，我们先来看多元函数极值的必要条件。

如果某一点是函数的极值点，那么它该满足些什么？
定理3.1 若函数f在点P0(x0,y0)存在偏导数，且在P0处取得极值，则有：
f x(x0,y0)=0, f y(x0,y0)=0
反之若函数f在点P0满足上式，则称P0为f的稳定点。

这里和一元函数一样，极值点一定是稳定点，而稳定点不一定是极值点。

我们知道求一元函数的极值有很多种方法。

那么多元函数呢？我们就一起来探讨吧！
如果用微分法求函数的极值，我们要先先求出函数的稳定点，那么我们求出函数的稳定点一定是函数的稳定点吗？答案是不一定。

判断是不是函数的极值点，书上给出了办法：引进一个矩阵，若f具有二阶连续偏导数，我们记
H f(P0)=(f x x(P0)f x y(P0)
f yx(P0)f yy(P0))=(f x x f x y
f yx f yy)
P0
它称为f在点P0的黑塞 Hesse）矩阵。

下面这个定理给出了判断稳定点是不是函数的极值点
定理3.2 （二元函数极值的充分条件）假设二元函数f在某点P0(x0,y0)的某
邻域U (P 0)上具有二阶连续的偏导数，且P 0是f 的稳定点。

则当H f (P 0)是正定矩阵时，f 在点P 0取得极小值；当H f (P 0)是负定矩阵时，f 在点P 0取得极大值；当H f (P 0)是不定矩阵时，f 在点P 0不取极值。

定理3.2我们改写成如下的更容易理解的形式，若二元函数f 在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U (P 0)上具有二阶连续的偏导数，且P 0是f 的稳定点。

则有：
（i ） 当f xx (P 0>0，(f xx f yy −f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极小值； （ii ） 当f xx (P 0<0，(f xx f yy −f xy 2)(P 0)>0时，f 在点P 0取得极大值； （iii ） (f xx f yy −f xy 2)(P 0)<0时，f 在点P 0不取极值；
（iv ） (f xx f yy −f xy 2)(P 0)=0时，不能肯定f 在点P 0是否取得极值。

这个定理该如何来运用它呢我们一起来看看下面几个例子.
例1 求函数f (x,y )=x 2+xy +y 2−x −2y +5的极值。

解法一： 由题意得：{f x =2x +y −1=0f y =x +2y −2=0
,得稳定点P 0(0,1)， 又f xx (P 0)=2，f xy (P 0)=1，f yy (P 0)=2，(f xx f yy −f xy 2)(P 0)=3。

， 所以函数f (x,y )在点P 0处取得极小值, 极小值f min (0,1)=4.
解法二：f (x,y )=x 2+xy +y 2−x −2y +5=x 2+(y −1)x +y 2−2y + 5=(x +y−12)2
+34((y −1))2+4，
所以当x +
y−12
=0且(y −1)=0时，即x =0,y =1时，函数f (x,y )有最小值是 4. 分析：此题是典型的二元函数的求极值的问题，我们给出的两种解法，很显然 利用上面的定理3.2更为简单。

例2 讨论函数f (x,y )=x 2+xy 是否存在极值。

解： 根据题意，{f x =2x +y =0f y =x =0
，得稳定点P 0(0,0). 又f x x (P 0)=2，f x y (P 0)=1，f y y (P 0)=0，所以(f x x f y y −f x y 2)(P 0)=−1.由极值
的充分条件可知，原点不是f(x,y)的极值点。

但是f(x,y)在R上处处可微，所以f(x,y)没有极值点。

例3求函数f(x,y)=e3x(x+4y2)极值。

解：由题意得：{f x=3e3x(x+4y2)+e3x=0
f y=8e3x y=0,由此得到稳定点P0
(0,0)
又f x x(P0)=4，f x y(P0)=0，f y y(P0)=8，所以(f x x f y y−f x y2)(P0)=32>0.所以函数在稳定点P0(0,0)处取得极小值。

我们看到我们求二元函数的极值与一元函数的极值有类似之处，但是我们发现我们二元函数还需要判定函数的极值点，显得较为难些，因为极值点有可能不只一个，而一元函数的极值点只有一个。

而我们求二元函数的最值时虑边界上的点，较一元函数也更为复杂。

3.2 条件极值
在前面我们求函数的极值，都是在函数的定义域内来求的，限制条件也只有定义域。

那么我们在生活中遇到的实际问题的限制条件也许不知一个。

肯恩会有很多个，这样需要我们考虑的就更多了。

在很多限制条件下求函数的极值，我们称为条件极值。

我们先从一个常规的例子入手。

例如要设计一个容积为V的无盖的长方体水箱，问长，宽，高各是多少时，其表面积最小？若转化为数学问题，则可以转化如下：设长方体的长，宽，高各是x,y,z,在体积V=xyz一定的情况下，求S(x,y,z)=xy+2(xz+yz)的极小值。

那么我们如何来求出这个函数的极小值呢？我们仔细观察发现就会知道，这个函数是三元函数，我们可以利用消元法条件极值变为无条件极值。

如下：
S(x,z)=V
z
+2(xz+
V
x
)
这是关于x,z的二元函数的无条件极值问题，利用前面的知识就可以求解了。

那么还有没有更为简单的方法呢？这里我们引用教材中的一种不需要依赖消元法就可以求出条件极值的方法：
拉格朗日乘数法：设f,φ都为简单的二元函数，欲求函数z(x,y)=f(x,y)的极值，其中(x,y)受条件φ(x,y)=0的限制。

若存在某一常数λ0，使得在P0处满足：
{f x (P 0)+λ0φx (P 0)=0
f y (P 0)+λ0φy (P 0)=0φ(P 0)=0
（1）
现在引入辅助变量λ和辅助函数L (x,y,λ)=f (x,y )+λφ(x,y )，则（1）式可以表示成：
{L x (x 0,y 0,λ0)=f x (P 0)+λ0φx (P 0)=0
L y (x 0,y 0,λ0)=f y (P 0)+λ0φy (P 0)=0L λ(x 0,y 0)=φ(P 0)=0
（2）
这样就把条件极值问题转化为（2）式的无条件极值了。

这里L 称为拉格朗日函数，λ称为拉格朗日乘数。

其中拉格朗日函数
L (x 1,x 2,⋯,x n ,λ1,λ2,⋯,λm )=f (x 1,x 2,⋯,x n )+∑λk φk m
k=1
(x 1,x 2,⋯,x n )
其中λ1,λ2,⋯,λm 为拉格朗日乘数，因此教材中给出了一下定理：
定理 3.2 条件φ(x,y )=0 的限制下，求函数z (x,y )=f (x,y ) 的极值问题，其中f 与φk (k =1,2,⋯.m )在区域D 上有一阶连续的偏导数。

若D 的内点P 0(x 1(0),⋯,x n (0)) 上述的极值点，且雅可比矩阵：
( ðφ1
ðx 1
⋯ðφ1ðx n ⋮⋱⋮ðn
ðx 1⋯ðm ðn )
的秩为m ，则存在m 个常数λ1(0)
,⋯,λn (0)，使得(x 1(0),⋯,x n (0)，λ1(0),⋯,λn (0))为拉格朗日函数的稳定点，即(x 1(0),⋯,x n (0)，λ1(0),⋯,λn (0))为 n +m 个方程： L x 1
=ðf ðx 1+∑λk ðφk ðx 1m k=1⋯⋯⋯⋯L x n =ðf ðx n +∑λk ðφk ðn m k=1L λ1=φ1(x 1,x 2,⋯,x n )=0
的解。

现在我们用这个方法来求解本节首先提出的问题：这里所求的拉格朗日的函数是L (x,y,z,λ)=2(xz +yz )+xy +λ(xyz −V ) ,
对函数L 求偏导数，令它们等于0得到：
{ L x =2x +y +λyz =0L y =2z +x +λxz =0L z =2(x +y )+λxy =0L λ=xyz −V =0
(3) 求解方程组（3）的解，得
x =y =2z =√2V 3 ，λ=√2V 3, 所以水箱的表面积在容积一定的情况下存在最小值。

当高为
√2V 32，长和宽为高的 2倍时，表面积最小，S min =3√4V 23.我们在看看下面几个例子。

例1 已知x +y =2 ，求z =√y 2−2x 2 的极值。

解法一：z =√y 2−2x 2=√(2−x )2−2x 2=√−x 2−4x +4=√−(x +2)2+8 所以z ≤2√2,当x =−2，函数有极大值2√2，
将x =−2带入x +y =2 得y =4.
解法二： 求函数z (x,y )=√y 2−2x 2 条件x +y =2 的极值。

所以应用拉格朗日乘数法为：
L (x,y,λ)=√y 2−2x 2+λ(x +y −2) ,对L 求偏导数在令其等于0得：
{ L x =−2x √y 2−2x 2+λ=0L y =y √y 2−2x 2λ=0L λ=x +y −2=0
解方程组x =−2,y =4,λ=√2,所以当x =−2,y =4 时，z =√y 2−2x 2取得极大值，极大值z max =2√2.
分析：此题解法一是不容易想到的解法，具有技巧性；而解法二利用拉格朗日乘数法过程虽然复杂，但是思路更为清晰，更易让人理解。

因此我们遇到较为复杂的问题时我们可以考虑解法二。

例2 求函数f (x,y,z )=xyz 在条件 x 2++y 2+z 2=1,x +y +z =0 的约束下的极值。

解： 作拉格朗日函数如下：
L (x,y,z,λ,μ)=xyx +λ(x 2++y 2+z 2−1)+μ(x +y +z ) ，求L 的偏导数并令其等于0得：
{
L x =yz +2λz +μ=0
L y =zx +2λy +μ=0
L z =xy +2λz +μ=0L λ=x 2++y 2+z 2−1=0L μ=x +y +z =0 由前三式消μ得：{z (y −x )+2λ(x −y )=0x (y −z )+2λ(z −y )=0
，在消去λ得： (x −y )(y −z )(z −x )=0 所以求得x =y ，或x =z 或z =y .将x =y 带入条件函数解得(x 0+y 0+z 0)=±(
√6√6√6) 。

由此得出：
f (x 0+y 0+z 0)=±√618.
同样将x =z 或z =y 带入条件函数也是一样的结果。

由于函数f 在有界闭集x 2++y 2+z 2=1,x +y +z =0 上必有最值。

所以
f max=√618 , f min=−√618 .
分析：此题是典型的利用拉格朗日乘数法求解条件极值的问题，我们会发现利用常规的解法很难解出这道题。

第四章函数极值的应用
在前面我们了解了多种函数极值的求法，那么如何运用它们来解决实际问题呢？下面我们从生活中的实际问题入手。

一、函数极值在生活中的应用
例1 现在运输一批货物从A城运往B城，A、B两城相距BC=akm。

已知轮船运费的价格是α元/km ，火车运费的价格是β元/km (β>α).现在要在运河边上找到一合适的一点M，修建铁路MB，使得点A到点M再到点B的总运费最省。

分析：此题的关键在于怎样来寻找点M，怎样来建立
函数关系式。

因为M点是活动的，故我们可以设MC=
xkm.这样我们就可以建立起函数关系式了，从而将
题目中的实际问题转化为我们可以研究的数学问题。

图4.1
解：设MC=xkm，这我们假设AC=dkm
则BM=√a2+x2km,所以总运费f(x)=β√a2+x2+α(d−x)
求出导数得f′(x)=2x
2√a2+x2
−α,
令f′(x)=0得到：x=±aα
√β2−α2 .由题意知负值不合题意。

所以当x=aα
√β2−α2
时，
函数f(x)有极值。

即MC=aα
√β2−α2
km时，用费最省。

所以点M该建在距离点C aα
√β2−α2
km处。

例2 我们都熟悉在很多城市中的大广场上，都有很高的灯柱，这个灯柱很高，也很亮。

那么用我们数学观点看待的话就转化为在半径为R的圆形广场中央0，竖立一顶端P装有弧光灯的灯柱0P，经研究已知底面上某点Q处的照度I与光
线的投射角（PQ与底面在Q点处法线的夹角，它等
于角OPQ，如图4.2所示）的余弦成正比，与该出到
光源的距离平方成正比，为使广场边缘的圆形道路有
最大的照度，灯柱的高度应为多高合适？
解：我们设灯柱高为h,则灯到广场边缘的距离为：图4.2
l=√R2+ℎ2
由题意我们容易得到光线的投射角α=arc tan R
ℎ
.故广场上某点的照度为：
I=k cosα
PQ2
=
kℎ
(R2+ℎ2)32
观察这个等式我们结合题意我们会发现，这是以I为目标函数，h为自变量（其中k是与光源强度有关的正的常数），它是定义域为(0，+∞)的可导函数。

其导数为：
I′=
k(R2−2ℎ2)
(R2+ℎ2)52
令I′=0得，目标函数有唯一稳定点ℎ=R
√2
.
因为只有唯一稳定点，根据题意，可知I的最大值存在，故灯柱的高度应取R
√2
.
二、函数极值在解析几何中的应用
例3 求椭圆x 2
a2+y2
b2
=1的内接矩形的面积最大值。

分析：首先我们来猜想一下，要使内接的矩形面积最大，那么会不会是正方形呢？会不会与坐标轴存在一定的关系呢？事实证明椭圆内接矩形都与坐标轴平行，不平行的矩形是不存在的。

解法一：设A(x,y)是内接矩形ABCD在第一象限内的顶点。

则矩
形的长为2x，宽为2y，面积S=4xy .又
y=b
a
√a2−x2 ,
所以S=4x∙b
a √a2−x2=4b
a
√x2(a2−x2) ,又
x2>0,a2−x2>0,且x2+(a2−x2)=a2是定值。

所以当x2=a2−x2，即x=√2
2
a时。

S最大。

此时
y=b
a √a2−(√2
2
a)
2
=√2
2
b ,则S max=4xy=4×√2
2
a×√2
2
b=
2ab.
解法二：由上S=4xy又
1=x2
a2+y2
b2
≥2√x2
a2
∙y2
b2
=2
ab
xy .（当且仅当x2
a2
=y2
b2
取等号）
所以xy≤2ab ,即S≤2ab ,S max=2ab.联立方程组可求出x,y 的值。

解法三：由上S=4xy，设椭圆上的第一象限内的点的坐标为(a sinθ,b cosθ)，0<θ<π
2
，则：
S=4ab sinθcosθ=2ab sin2θ≤2ab (当且仅当sin2θ=1时取等号。

故当θ=π
4，x=√2a
2
,y=√2b
2
时，S max=2ab.
解法四：S=4b
a
∙x∙√a2−x2.求导得：
S′=4b
a (√a2−x2−x2
√a2−x2
)=4b
a
∙a2−2x2
√a2−x2
，令S′=0得：x=±√2
2
a .
又0<x<a ,故有稳定点x=√2
2
a。

列表如下：
x(0,√2
2
a)
√2
2
a(
√2
2
a,a)
S′+ 0 -
S↗极大值2ab ↘则当x=√2a，y=√2b时，S max=2ab .
例4 若四边形a,b,c,d为定值，证明该四边形为圆内接四边形时，面积最大。

解：首先我们作图如下 4.3，我们分别设AB=a,BC=b,CD=c,DA= d，∠ABC=x,∠CDA=y .则可以得到四边形的面积（可是为目标函数）为：图4.3
S=1
2
ab sin x+
1
2
cdsin y,0<x<π,0<y<π
又因为∆ABC,∆CDA有共同的一条边AC，所以由余弦定理得到：
a2+b2−2ab cos x=c2+d2−2cd cos y
由此本题转化为在条件a2+b2−2ab cos x=c2+d2−2cd cos y的限制下求目
标函数S=1
2ab sin x+1
2
cdsin y的极值.因此我们用拉格朗日乘数法求解如下：
首先我们做拉格朗日函数：
L=1
2
ab sin x+
1
2
cdsin y+λ[a2+b2−2ab cos x−(c2+d2−2cd cos y)]
对L求偏导数在令其等于0得：
{
L x=
1
2
ab cos x+2λab sin x=0
L y=
1
2
cd cos y−2λcd sin y=0
Lλ=a2+b2−2ab cos x−(c2+d2−2cd cos y)=0
解得tan x+tan y=−1
4λ+1
4λ
=0.所以在条件0<x<π,0<y<π
下必有x+y=π，即四边形ABCD对角互补，和圆的内接四边形一样，而此时有S有最大值。

又y=π−x,所以
cos x=a2+b2−c2−d2
2(ab+cd)
.
sin x=sin y=√1−[a2+b2−c2−d2
2(ab+cd)
]
2
故S max=1
2(ab+cd)√1−[a2+b2−c2−d2
2(ab+cd)
]
2
=
1
4
√2(a2b2+a2c2+b2d2+c2d2)+8abcd−(a4+b4+c4+d4)
分析：通过本题的解法我们熟悉到，在遇到有条件限制的几何问题求极值的时候，运用拉格朗日乘数法显得更为简便。