2020考研数学一真题及答案-2020数学原题

2020考研数学一真题及答案

一、选择题

（1）当 x 0 时，下列无穷小量最高

阶是

（A ） 0x e t 2

1 d t .

（B ） 0x ln 1 dt

.

t 3

（C ） 0sin x sin t 2 dt .

（D ） 01 cos x dt

.

sin t 2

（1）【答案】（D ）.

【解析】因为 lim

0x e t 2

1 dt lim e x 2

1 lim x 2

1 , x 3 3

x 2 3

x 0 + x

0 +

3 x 2 x 0+

故 x 0 时， 0x e t 2

1 dt 是 x 的 3 阶无穷小；

0x ln 1 dt ln 1

t 3 x 3

因为

lim lim lim x 3

2 ,

x 0 + 5 x 0 + 5 3

x 0+ 5 3 5

x 2 x 2 x

2

2

2

故 x 0 时， 0x ln 1 t 3 dt 是 x 的 52 阶无穷小；

因为 lim

sin x sin t 2 dt lim sin sin x 2 cos x lim sin 2 x lim

x 3 3 x 2

x 0 + x 0 + x 0 + 3 x 2 x 0+

故 x 0 时， 0sin x sin t 2 dt 是 x 的 3 阶无穷小；

（ ） x 2

1

3 x 2 3 ,

01 cos x 因为

lim sin t 2 d t lim sin 1 cos x 2 sin x lim sin 1 cos x 2

1,

0 1 cos x sin x 2 x 0 + t d t x 0 + x 0+ 1 cos x 1 cos

x

又 01 cos x t dt

1 t

2 1 cos x 1 1 cos x 21 x 4 ，

2 0 2 8

故 x 0 时， 01 cos x sin t 2 dt 是 x 的 4 阶无穷小；

综上， x 0 时，无穷小量中最高阶的是 01 cos x sin t 2 dt .

故应选（D ）.

x

0 0, 则 （2）设函数 f x 在区间 1,1 内有定义，且

lim f x （ ） （A ）当lim f

x 0 时， f x 在 x 0 处

可导.

x 0

x

（B ）当lim

f x 0 时， f x 在 x 0 处

可导.

x 0

x 2 （C ）当 f x 在 x 0 处可导时，lim

f

0 .

（D ）当 f x 在 x 0 处可导时，lim

f x 0 .

x 0x 2 （2）【答案】（C ）.

【解析】

对于选项（A ）：取 f x x ，满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（A ）.

x, x

0, 满足已知，但 f x 在 x 0 处不可导，排除（B ）.

对于选项（B ）：f x

x

0, 0,

对于选项（C ）：当 f x 在 x 0 处可导时， f x 在 x 0 处连续，故

f 0 lim f x 0, 且 f 0 存在，不妨设 f

0 lim f x f 0 lim f x A,

x 0 x 0 x x 0 x

则

f lim f x 0 . 同理可排除

（D ）. x 0 x 故应选（C ）.

（3）设函数 f x 在处可微， f 0, 0 f f

点 0, 0 0, n

, ,

1

，非零向量d

与

x y 0,

n 垂直，

则（）

（A）li

m

x ,

y , f

x ,

y

0 存

在.

x , y0,0 x 2 y2

n x ,

y , f

x ,

y

（B）lim 0 存在.

x ,

y 0,0 x 2 y2

（C）lim d

x ,

y , f

x ,

y

0 存

在.

x ,

y 0,0 x 2 y2

（D）lim d

x ,

y , f

x ,

y

0 存在.

x , y0,0 x 2 y2

（3）【答案】（A）.

【解析】因 f x 在点 0, 0 处可微，且 f 0, 0 0 ，故

f x , y f 0, 0 f x 0, 0 x f y 0, 0 y x 2 y 2 ,

f f

f x 0, 0 , f y 0, 0 , 1 ，故 因为n ,

,

1 x y

0,0

n x , y , f x , y f x 0, 0 x f y 0, 0 y f x , y x 2

y2 ，

3

n x , y , f x , y

则 lim lim x 2 y 2 0. 故应选（A ）.

x , y0,0x 2 y 2 x , y0,0 x 2

y 2

（4） 设R 为幂级数 a n x n

的收敛半径，r 是实数，则 （ ）

又 1

（A ） a n r n 发散时， r R .

n 1

（B ） a n r n 发散时， r

R .

n 1

（C ） r R 时， a n r n 发散. n 1