高考数学极坐标与参数方程真题

极坐标与参数方程（全国卷高考题）

（2007）坐标系与参数方程：1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O e ，2O e 交点的直线的直角坐标方程．

（2008）坐标系与参数方程：

已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2

：()

x t y ⎧=⎪⎪⎨

⎪=

⎪⎩

为参数 。 （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；

（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出1'C ，

2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。

（2009） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨

=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,

3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）．

（Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2

t π

=

，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线

332,

:2x t C y t =+⎧⎨

=-+⎩

（t 为参数）距离的最小值．

（2010）坐标系与参数方程：已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．

(1)当α＝π

3

时，求C 1与C 2的交点坐标；

(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα

=⎧⎨

=+⎩（α

为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v

,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

π

θ=与C 1的异于极点的交点

为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

（2012）已知曲线C 1的参数方程是⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos φ

y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π

3)

(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。

（2013课标1）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,

55sin x t y t

=+⎧⎨

=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=。

（Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）。

（2013课标2）已知动点P Q 、都在曲线2cos ,

:2sin x t C y t

=⎧⎨

=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为

=t α与=2t α（02απ<<）

，M 为PQ 的中点。 （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

（2014课标1）已知曲线194:2

2=+y x C ，直线⎩

⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

（2014课标2）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2

π

ρθθ=∈.

（1）求C 得参数方程；

（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

（2015课标1）在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()22

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.

（2015课标2）在直线坐标系xOy 中，曲线C 1

：cos sin x t y t ==αα｛（t 为参数，t ≠0）其中0≤α

≤π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：p=2sin θ，C 3：cos θ。 （I ） 求C 1 与C 3 交点的直角坐标；

（II ） 若C 1 与C 2 相交于点A ，C 1 与C 3 相交于点B ，求|AB|的最大值.

9.【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.