卡尔曼滤波器分类及基本公式

简单的说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法)”。从形 式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理， 例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡
以 K 1时刻的最优估计 x k 1 为准，预测 K 时刻
尔 曼
的状态变量 xˆ k / k 1 ，同时又对该状态进行观测，得到
滤
观测变量 z k ，再在预测与观测之间进行分析，或者
波
说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 K 时刻的
思
想
最优状态估计 x k 。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的基本方程
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的由来
Baidu Nhomakorabea
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和
社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星
运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪
问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信
号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻 的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后， 你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该 值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman， 匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻省 理工学院分别获得电机工程学士及硕 士学位。1957年于哥伦比亚大学获得 博士学位。我们在现代控制理论中要 学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的 博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预 测问题的新方法）。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
思路
思路
Part 1 线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 线性离散系统 II. 线性连续系统
Part 2 非线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 扩展卡尔曼滤波器 EKF II. 无迹卡尔曼滤波器 UKF
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波的基本思想
在海图作业中，航海长通常以前一时刻的船位为基准，根据航向、 船速和海流等一系列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为 船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到 另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，航海长需 要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船舰当前的位置。
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值 23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信 温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。 因为，H2525242H0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 刻的最优温度值为：2 3 0 .7 8 * ( 2 5 2 3 ) 2 4 .5 6 度（*公式四）。 得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最 优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：
卡尔曼滤波器分类及基本公式
滤波的基本概念
确定性信号的滤波
可采用低通、高通、带通、带阻等模拟滤波器或者计算机通 过算法实现——常规滤波
随机信号的滤波
根 据 有 用 信 号 和 干 扰 信 号 的 功 率 谱 设 计 滤 波 器 —— 维 纳 滤 波 （Wiener Filtering）或卡尔曼滤波（Kalman Filter） 随机信号的滤波也可以看做是估计问题。
卡尔曼 滤波器
（Kalman Filter）
卡尔曼滤波器分类及基本公式
滤波的基本概念
滤波是什么？
所谓滤波，就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。
信号的分类（数学关系）？
（1）确定性信号：可以表示为确定的时间函数，可确定其在任何 时刻的量值。（具有确定的频谱） （2）随机信号：不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其 未来任何瞬时值，其值的变化服从统计规律。（频谱不确定，功 率谱确定）
性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预
测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计
困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优
滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个
问题
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波器是什么
卡尔曼滤波器是什么？
卡尔曼滤波器分类及基本公式
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号； （2）被处理的信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出 所有被处理的信号(区别于维纳滤波)； （3）系统的白噪声激励和测量噪声并不是需要滤除的对象，它 们的统计特性是估计过程中需要利用的信息；（区别最小二乘） （4）算法是递推的，且使用状态空间法在时域内设计滤波器， 适用于对多维随机过程的估计； （5）被估计量既可以是平稳的，也可以是非平稳的； （6）估计过程中，只需要考虑过程噪声和测量噪声及当前时刻 系统状态的统计特性。（计算机计算时，所占空间小）
例子
假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。根 据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的，但是对我们 的经验不是完全相信，可能存在上下几度的偏差，我们把该 偏差看做是高斯白噪声。另外，我们在房间里放一个温度计， 温度计也不准确，测量值会与实际值存在偏差，我们也把这 偏差看做是高斯白噪声。现在，我们要根据我们的经验温度 和温度计的测量值及它们各自的噪声来估算出房间的实际温 度。