21二阶三阶行列式

,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
.
其中
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
即可看作
b1
b
2
b 3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23
b3 a32 a33
同理
b1
a 21 a 11
b2 . a12
a 21 a 22
a 21 a 22
系数行列式
a12 , a22 b1 . b2
例1 求解二元线性方程组
32x1x12
x2 x2
12, 1.
解
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3 2
D
3(4)70,
21
12 D1 1
2
3
1 14, D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2 注意 红线上三元素的乘积取正号，蓝线上三 元素的乘积取负号．
说明 1、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负.
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
a 22
对于二元线性方程组 a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
若记
Da11 a12,
系数行列式
a21 a22
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1, b2.
D a11 a21
a12 , a22
D a11 a21
记
D1
b1 b2
a12 , a 22
记
D2
a11 a21
则二元线性方程组的解为 系数行列式
b1 a12
a11 b1
x1
D1 D
b2 a 11
a 22 , a12
x2
D2 D
二、三阶行列式
定义 设有 9个数排3行 成3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
a31 a32 a33 记
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
第二章 行列式与矩阵求逆
2020/7/13
一、二阶、三阶行列式 二、n阶行列式
三、n阶行列式的性质与计算
四、线性方程组的行列式解法 ——克莱姆法则
五、逆矩阵
§2.1二阶、三阶行列式
2020/7/13
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a a1 2x x 1 11 1 a a1 2x 2 x 22 2 b b1 2,.
如果三元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
b1, b2,
a31x1 a32x2 a33x3 b3;
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33 利用消元法我们很容易的能够得到三元线性 方程组的解为
x1
D1 D
（ a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ） 2 x 1 2 a 1 b 2 1 b 1 a 2 ,1 当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211. （ 3）
1 2
1a22: a 1 a 2 1 x 1 2 a 1 a 2 2 x 2 2 b 1 a 2 ,2 2a12: a 1 a 2 2 x 1 1 a 1 a 2 2 x 2 2 b 2 a 1 ,2
两式相减x消 2，去 得
（ a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ） 2 x 1 b 1 a 2 a 2 1 b 2 ; 2 类似地，消 x1，去得
a11 a12 a13
b
2
D a21
a22
a23
b 3
a31 a32 a33 a 31 a 32
D a 1 a 2 1 a 3 2 3 a 1 a 2 2 a 3 3 a 1 1 a 2 3 a 3 12
a 1 a 2 a 1 3 3 a 2 1 a 2 a 2 3 1 a 3 1 a 2 a 3 3 2 .1
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
1 2 -4 例２ 计算三阶行 D列 -2式 2 1
-3 4 -2 解 法一
D 1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4
( 4 ) 2 ( 3 ) 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) 4 6 3 4 2 8 2 14 .4
1 2 -4 1 2 D -2 2 1 2 2
-3 4 -2 3 4
法二：按对角线法则，有
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
12(2)21(3) (4)(2)4
(4)2(3)114 2(2)(2)
4 6 3 4 2 8 24 1.4
利用三阶行列式求解三元线性方程组
由方程组的四个系数确定.
定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12
a21 a22
(4)
表达a式 11a22a12a21称为数4） 表所 （确定的二
行列式，并 a11记a1作 2 (5) a21 a22
即
Da11 a21
a a1 22 2a1a 122 a1a 22.1
注：二阶行列式是一个由四个数确定的一个数， 而不是数表，注意它与二阶矩阵的区别。
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 .列标
a31 a32 a33 行标 三阶行列式的计算
a11 a12 a13 a 11 a 12
(1)
D a21 a22 a23 a 21 a 22