一元二次方程的解法及韦达定理

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(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识点总结与易错题精编版

一元二次方程知识点总结考点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 。

4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和等于-ab ，二根之积等于a c ，也可以表示为x 1+x 2=-ab ，x 1 x 2=ac。

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

【初二上册数学】八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理

【例21】若方程： kx2 9x 8 0 的一个根为 1，则 k=________；另一个根为________．
【例22】写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是 5 3 ， 5 3 ．
【例11】的例题：解方程 x2 | x | 2 0 解：当 x 0 时，原方程化为 x2 x 2 0 ，解得： x1 2 ，x2 1 （舍）当 x 0 时，原方程化为 x2 x 2 0 ，解得： x1 2 ，x2 1 （舍） ∴原方程的根是 x1 2 ，x2 2 请参照例题解方程 x2 | x 1| 1 0 ．
【例17】已知 a ，b ，c 是有理数，试证明关于 x 的方程：x2 2ax a2 b2 c2 2bc = 0 的根也是有理数．
【例18】已知关于 x 的方程： x2 4(m 1)x 3m2 2m 4k 0 ，当 m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，求 k 的值或者是 k 的取值范围．
（3） x2 2( 3 1)x 2 3 0 ；
（4） x2 2mx m2 n2 0 ．
【例7】解下列关于 x 的方程（用适当的方法）：
（1） mx2 nx p 0(m 0) ；
（2） (x 5)(x 3) x(x 6) 145 ．
【例8】用指定的方法解下列方程：（1） x2 12x 3 （配方法）；
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模块二：韦达定理
知识精讲
韦达定理：如果 x1 ，x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根,由解方程中的
公式法得,
b x1
b2 2a
4ac
，x2
b
b2 4ac ． 2a
那么可推得
x1
x2
b a
，x1
x2

人教版九年级上册数学——一元二次方程知识点总结

21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次三项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

一元二次方程、韦达定理

一元二次方程及韦达定理一、求解一元二次方程的过程就是一个因式分解的过程一元二次方程如果有解的话一定可以表示成：))((0212x x x x a c bx ax --==++)0(≠a 其中：21,x x 就是方程的两个根；如果21x x =，就说方程有两个相等的根。

二、一元二次方程求根的几种办法：1. 十字相乘法：2. 配方法：3. 公式法：4. 猜根+结合韦达定理。

三、韦达定理1、韦达定理应用的前提是方程有实根！2、韦达定理的正向运用： )0(02≠=++a c bx ax 如果有两个根21,x x （可以相等），那么： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 ：得到的是各项系数之间的关系。

3、若两个实数21,x x 满足a b x x -=+21，a c x x =⋅21，则21,x x 必为方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。

4、可以通过韦达定理来判断两个根的符号：1）通过21x x ⋅来判断两根同号还是异号；2）通过21x x +来判断两根的正负。

基本题型解法及易错点一、求解一元二次方程的根：02=++c bx ax1. 如果二次项前面有参数，要先讨论参数是否为0；2. 有根的判断标准是：042≥-=ac b ∆；所以，0<ac 时，一定有两个根；3. 十字相乘法：1）整数的分解；2）分数变整数。

4. 求根公式法：运算∆的时候，数字较大时，先不单独运算，提取公因式优先。

5. 猜根+韦达定理：根据题目数字关系，猜测其中的根，根据韦达定理得出另一根。

6. 多参数的，可以看成是其中一个的二次方程。

二、韦达定理的整体应用1. 如果是含参的一元二次方程，未告知具体根，在使用韦达定理前，一定验证0≥∆。

2. 已知两个实数的和、积关系，求两个实数：1）通过和、积关系逆推出是一个一元二次方程的根；2）有两种情况。

3. 已知21,x x 是方程两根，求解有关21,x x 的式子的值：不单独求21,x x ，整体进行代换。

河南省郑州外国语学校初高中数学衔接知识分章节讲解21一元二次方程212根与系数的关系(韦达定理)

根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b b x x a a a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a-，x 1·x 2＝c a ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0，∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩ 因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯- ＝254＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4，由②得 a ＜174． ∴a 的取值范围是a ＜4．练习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是（）（A ）有一个实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝．（2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．2.1 一元二次方程练习1．（1）C （2）D2．（1）－3 （2）有两个不相等的实数根（3）x 2＋2x －3＝03．k ＜4，且k ≠04．－1 提示：(x 1－3)( x 2－3)＝x 1 x 2－3(x 1＋x 2)＋9。

利用韦达定理求一元二次方程的根

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .（法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式）按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0 对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a .3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得 (x －32)(x ＋2)＝0，解得， x 1＝32， x 2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二） a ＝1，b ＝－22，c ＝－6，∴ b 2－4ac ＝8＋24＝32，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝22±422＝2±22，于是有 x 1＝32， x 2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝2 2∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a2＝48，则a2＝1，因此a＝1∴x1＝7＋1＝8，x2＝7－1＝6.例4：解方程x2＋18x＋40＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－18，x1x2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝－9＋a，x2＝－9－a，（满足条件x1＋x2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40，则a 2＝41，因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52，则a 2＝12116，因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5.（法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5.当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。

一元二次方程、韦达定理及应用

专题一元二次方程及韦达定理【基本知识】1．一元二次方程符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程。

任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）2．了解形如（x ＋m ）2= n （n ≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；（3）利用直接开平方法解之。

4．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式：242b b ac x a -±-= （240b ac -≥） 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b 2－4ac 来判定：当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根。

我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的根的判别式。

6．设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系： 12b x x a +=-，12c x x a⋅=； 7、用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？（一审、二找、三设、四列（列代数式、列方程）、五解、六验、七答）8．用一元二次方程解决问题的关键是什么？（寻找题中的等量关系）巩固练习1．关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（）A ．0p >且0q >B ．0p >且0q <C ．0p <且0q >D ．0p <且0q < 2．若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法复习：一元二次方程：20ax bx c ++=，2b x a-=根的判别式24b ac -240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；240b ac -=，方程有两个相等的实数根（或方程有一个实数根）； 240b ac -<，方程没有实数根。

韦达定理：如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为1x ，2x 则有：12b x x a+=-，12cx x a⋅=韦达定理的推广：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③22121212()()4x x x x x x -=+-；④12||x x -=一元二次函数2y ax bx c =++，2224()()24b ac b y a x a x h k a a-=++=-+ 其中：2b h a =-， 244ac b k a-=，一元二次函数的图像是抛物线，抛物线的顶点坐标是(,)h k ，抛物线的对称轴是直线x h =；当0a >，开口向上，()min y k f h ==；当0a <，开口向上，()max y k f h == 一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＜0(a≠0)的解集的确定受a 的符号、b2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系题型分类题型一：一元二次不等式的解法例1、解下列不等式（1）23280x x --+≥；（2）2410x x --+>；（3）28116x x -≥；（4）22430x x ++<；总结：首先将二次项系数转化为正数，再看能否因式分解，若能，则可得方程的两根，大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再看∆，利用求根公式求解方程的根，然后写出解集。

苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程第3讲根的判别式与韦达定理(含答案)

中考要求知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到2224(24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．根的判别式与韦达定理②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=21x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况（）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【解析】方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca=---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【解析】由题可得36360k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】2400k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x 的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =；⑵当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b ac b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为：224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得124422x x --+=-=，122x x ⋅=-=【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x ⑴12x x +=；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=+的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ++++=++===+=☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q +=【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1-，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =-代入原方程，求p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

八年级秋季班-第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理

一般一元二次方程的解法及韦达定理内容分析利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x +m)2 =n 的形式；④当n ≥ 0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．2例题解析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）； ②确定 a 、b 、c 的值；③求出b 2 - 4ac 的值（或代数式）；若b 2- 4ac ≥ 0 ，则把 a 、b 、c 及b 2- 4ac 的值代入求根公式 x = 2a ，求出 x 1 、x ；若b 2 - 4ac < 0 ，则方程无解．【例1】填空：（1） x 2 - 1x + = (x -2b)2；（2） x 2-+ 21= (x - 25b 2)2 ；2（3） x 2 - x + = (x - )2；（4）4xa- += (2x - ) ． a 2【例2】如果 x 2 + ax + 4 是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ． -2C ．2 或-2D ．都不对【例3】若 m < 0 且 x = 2 时，等式 x 2 - mx + m 2 - 7 = 0 成立，则m 值为．【例4】如果一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是．【例5】解下列方程(配方法)：（1） x 2 + 3x - 4 = 0 ；（2） 0.04x 2 + 0.4x +1 = 0 ；（3） 2x 2 + 4mx + m 2 = 0 ；（4） ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ．-b b 2- 4ac【例6】解下列方程（求根公式法）：（1）x2 = 2(x -1) ；（2）0.2x2 - 0.1x =1；（3）x2 + 2(+1)x +2= 0 ；（4）x2 - 2mx +m2 -n2 = 0 ．33【例7】解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）mx2 -nx -p = 0(m ≠ 0) ；（2）(x -5)(x -3) +x(x + 6) =145 ．【例8】用指定的方法解下列方程：（1）x2-12x=3（配方法）；（2）3(2x -1)2 = 75 （开平方）；（3）(1 - 2)x2= (1 + 2)x（因式分解）；（4）3x2+12x+7=0（公式法）．【例9】已知：(x2 + 2x + 1)0 =x2 - 2x - 2 ，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式10x 2 - 21x + 9x 2 + 1的值等于零．【例11】的例题：解方程 x 2 - | x | -2 = 0解：当 x ≥ 0 时，原方程化为 x 2 - x - 2 = 0 ，解得： x = 2 ，x = -1 （舍）12当 x < 0 时，原方程化为 x 2 + x - 2 = 0 ，解得： x = -2 ，x = 1 （舍）12∴原方程的根是 x 1 = 2 ，x 2 = -2请参照例题解方程 x 2 - | x - 1| -1 = 0 ．【例12】解下列关于 x 的方程方程：（1） kx 2 + 2(k - 2)x + (k - 3) = 0 ；（2） (x - 5)(x + 3) + (x - 2)(x + 4) = 49 ；（3） 2x 2 + (3a - b )x - 2a 2 + 3ab - b 2 = 0 ．【例13】已知： y = 2x 2 - 3x + 1，y = 4x 2 + 4x + 7 ，求 x 为何值时， y = y ．1212⎨【例14】解关于x 的一元二次方程x2 - 4 =x(mx - 3) ，其中m 是满足不等式⎧3m + 1 > 0的⎩3 - 2m > 0 整数．【例15】求关于x 的方程：5x2 + 5y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2 = 0 的实数解．【例16】已知a +b -=-1c - 5 ，求a +b +c 的值．2【例17】已知a ，b ，c 是有理数，试证明关于x 的方程：x2- 2ax +a2-b2-c2+ 2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x 的方程：x2 - 4(m -1)x + 3m2 - 2m + 4k = 0 ，当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．-b + b 2 - 4ac- b - b 2 - 4ac 51 2韦达定理：如果 x ，x 是一元二次方程 ax 2- bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根,由解方程中的公式法得, x 1 =2a ，x 2 = 2a．那么可推得 x + x = - b ，x ⋅ x = c这是一元二次方程根与系数的关系．1 2a 1 2 a【例19】若方程 x 2 - (m + 1)x + m = 0 有解，利用适当的方法解这两个根，分别是；若这两个根互为相反数则m 的值是；若两个根互为倒数，则 m 的值是．【例20】如果 x ， x 是方程2x 2 + 3x - 6 = 0 的两个根，那么 x + x =；1212x 1 ⋅ x 2 =．【例21】若方程： kx 2 - 9x + 8 = 0 的一个根为 1，则 k =；另一个根为．【例22】写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是5 -23，5 + 3 ．2【例23】已知-1 - 、是关于 x 的方程ax 2 2 2+ bx + 1 = 0(a ≠ 0) 的两根，求 b 的值．模块二：韦达定理知识精讲例题解析-1 + 5【例24】已知x ，x 是方程1x2 - 3x -3= 0 的两根，求下列各式的值：1 2 2 2（1）1+1；（2）x 2 -x 2 ；（3）x 2 +x 2 ；（4）| x -x | ．x1x2【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：2x2 - 8x + 7 = 0 两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】已知方程：x2 - 4x +a = 0 的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】已知2m2 - 5m -1 = 0 ，n2 + 5n - 2 = 0.mn ≠ 1 ，求1+n 的值．m【例28】已知α，β是方程：x2-2x-4=0的两根，求代数式α3 +8 β+6 的值．1 2 1 2 1 2随堂检测【习题1】完成下列填空：（1）x2 - 2 2x + = (x - )2 ；（2）(2 y - )2 = +1 ；（3）3x2 + + 9 =3(x + )2 ．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程3x2 = 2x ，用法解比较好，其根为；（2）对方程(2x -1)2 = 4 ，用法解比较好，其根为；（3）对方程2x2 - 3x - 6 = 0 ，用法解比较好，其根为．【习题3】已知x2 +ax +a - 2 = 0 的两根互为倒数，则a 的值为．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）ax2 -bx = 0(a ≠ 0) （因式分解）；（2）4x2 - 9a2 + 6a -1 = 0(a为已知数) （直接开平方）；（3）5x2+6x-9=0（配方法）；（4）3x2 - 2x - 4 = 0 （求根公式）．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）x2 -x = 1 ；（2）2(2x - 3)2 - 3(2x - 3) = 0 ；（3）3x2 - 2 6x + 2 = 0 ；（4）(3x + 5)2 - 5(3x + 5) + 4 = 0 ．【习题6】解关于x 方程：（1）x2 - 2ax +a2 =1；（2）x2 -px +q = 0 ．【习题7】如果9x2 - 6(n + 1)x +n2 + 5 是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】用配方法说明：不论x 为何值，代数式x2 - 5x + 7 的值总大于 0，再求出当x 为何值时，代数式x2 - 5x + 7 有最小值，最小值是多少？1 2【习题9】已知关于x 的方程(m -1)x2 + (2m -1)x + 3 -m = 0(m为实数) 有两根x ，x ，其中x 1 > 0 ，x2< 0 且| x1|>| x2| ，求m 的取值范围．【习题10】解方程x | x | -3 | x | +2 = 0 ．【习题11】已知关于x 的方程(k -1)x2 -px +k = 0 有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】已知实数a ≠b ，且满足(a + 1)2 = 3 - 3(a + 1) ，3(b + 1) = 3 - (b + 1)2 ，求1 2【作业1】已知代数式3x 2 - 9x + m 是一个完全平方式，则m =．【作业2】以下说法正确的有几个：（1）方程 x 2 = 0 ，有两个根；（2）方程 x 2 = 4x 两边同除以 x ，解得方程的解为 x = 4 ；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程(x - 1 )2 = -x 无解； 2（4）对于方程(x -1)2 = (x + 3)2 ，因为无论 x 取何值， x -1和 x + 3 都不可能相等，所以方程无解．【作业3】如果 x ，x 是方程5x 2 - 7x + 5 = 0 的两根，求下列各式的值：（1） 1 + 1 ；（2） x 2 + x 2 ． x 1 x 2【作业4】用适当的方法解下列方程：（1） x 2 = 49 ；（2） 3x 2 - 21x = 0 ；（3） 2x 2 - 3x - 5 = 0 ；（4） (x - 4)2 = 5(x - 4) ；（5） 3x 2 - 4x - 2 = 0 ；（6） ( y -1)2 + 5( y -1) + 4 = 0 ．课后作业1 2（1）4(x - 2)2 - (3x -1)2 = 0 ；（2）(3x -1)2 - 3(3x -1) + 2 = 0 ；（3）6x2 - 2x - 2 = 0 ；（4）12x2 - 20x -525 = 0 ．6【作业6】用适当的方法解下列关于x 方程：（1）x2 +2ax +a2 =1(a为已知常数) ；（2）x2 +ax - 2a2 = 0(a为已知常数) ；（3）-3x2 -xb + 2b2 = 0 ( b为已知常数) ．【作业7】若α，β是方程x2 +3x -17=0 的两个根，求α2 +2α-β的值．n m 的值．【作业9】已知6m 2 - mn - 2n 2 = 0(n ≠ 0) ，求m 的值．n【作业10】解关于 x 的方程5x 2 - | x | -3 = 0 ．【作业11】已知方程 x 2 - 2x - 12= 0的两根是 α ，β ，设 C =α + β ， C =α 2 + β 2 ，．．．， 1 2 C =α n + β n （n 是正整数）．（1）求C 3 的值；（2）求证： C n +1 =2C n + 12C n -1 ．。

一元二次方程的解法(十字交叉法)及韦达定理

ax
2
bx c 0 ( a 0 ) 中的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数之间的关
系（韦达定理）
重点：1.掌握用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程
2
重点难点
2.一元二次方程 ax
2
bx c 0 ( a 0 ) 的两个根 x 1 , x 2 的和(积)与它的系数
之间的关系（韦达定理）及运用学习过程：一、课前检测分解因式① x 7 x 12 =
2
。② m 2 m 15 =
2
二、合作探究： 3．活动一：结合上面两个自测题小组讨论形如 x ( p q ) x pq 的二次三项式怎样分
2
解因式，从而理解怎样解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程

③
3 x1 x1 x 2 3 x 2
④ x1 x 2
2 2
四、达标检测：（1）方程 x x 6 0 的根是
2
（2）方程 x x 6 0 的解是
2
（3）若 x1 , x 2 是方程 x 3 x 5 =0 的两个根 x1 x 2
2
， x1 . x 2
班级姓名组长批改一元二次方程的解法十字交叉法及韦达定理审核人学习目标bxax的和积与它的系数之间的关系韦达定理重点难点重点
茶陵县云阳中学九年级数学(上)学案授课时间：课题月日班级姓名主备人组长批改审核人
一元二次方程的解法（十字交叉法）及韦达定理
2
1．学习用十字交叉法解形如 x ( p q ) x pq 0 的一元二次方程 2．掌握由一元二次方程的求根公式推出一元二次方程学习目标

利用韦达定理求一元二次方程的根

利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1. 韦达定理：假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 2. 推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式x ＝－b ±b 2－4ac 2a不妨假设 x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ， x 2＝－b －b 2－4ac 2a不难得出 x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. （法二）若一元二次方程的两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 a (x －x 1)(x －x 2)＝0 (a ≠0) （双根式）按照x 的次数降幂排列，得 ax 2－a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0对比一元二次方程的一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，得b ＝－a (x 1＋x 2)，c ＝ax 1x 2，∴ x 1＋x 2＝－b a ， x 1x 2＝c a. 3. 推论：（一）当二次项系数为1时，即一元二次方程满足x 2＋px ＋q ＝0的形式假设方程的两根分别为x 1、x 2，则有x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .（二）已知一元二次方程两根分别为x 1、x 2，则方程可以写成以下形式 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 4. 实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.二、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一元二次方程x 2―22x ―6＝0的根.很明显，根据我们所学习惯，首选方法是十字相乘法.（法一）因式分解，得(x－32)(x ＋2)＝0，解得，x1＝32，x2＝－ 2.当然，利用十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法.（法二）a＝1，b＝－22，c＝－6，∴b2－4ac＝8＋24＝32，∴x＝－b±b2－4ac2a＝22±422＝2±22，于是有x1＝32，x2＝－ 2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分灵活，若每一个系数都是整数，且满足x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0形式的方程可以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用. 而利用求根公式解一元二次方程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量. 那有什么方法既可以减少计算量，使运算变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢？接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程x2―22x―6＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝22，x1x2＝―6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x1＝2＋a，x2＝2－a，（满足条件x1＋x2＝22）且(2＋a)(2－a)＝―6. （满足条件x1x2＝―6）于是有2－a2＝―6，则a2＝8，因此a＝22∴x1＝2＋22＝32，x2＝2－22＝－ 2.上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定a为正数. 观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷且万能通用. 当然我们也可以看以下例子.例1：解方程x2―6x―25＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝6，x1x2＝―25.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝3＋a，x2＝3－a，（满足条件x1＋x2＝6）1且(3＋a)(3－a)＝―25. （满足条件x1x2＝―25）于是有9－a2＝―25，则a2＝34，因此a＝34∴x1＝3＋34，x2＝3－34.例2：解方程x2＋24x―63＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝－24，x1x2＝―63.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝－12＋a，x2＝－12－a，（满足条件x1＋x2＝－24）1且(－12＋a)(－12－a)＝―63. （满足条件x1x2＝―63）于是有144－a2＝―63，则a2＝207，因此a＝207∴x1＝－12＋207，x2＝－12－207.例3：解方程x2―14x＋48＝0，根据韦达定理有x1＋x2＝14，x1x2＝48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得x＝7＋a，x2＝7－a，（满足条件x1＋x2＝14）1且(7＋a)(7－a)＝48. （满足条件x1x2＝48）于是有49－a 2＝48，则a 2＝1，因此a ＝1∴ x 1＝7＋1＝8， x 2＝7－1＝6.例4：解方程x 2＋18x ＋40＝0，根据韦达定理有x 1＋x 2＝－18，x 1x 2＝40.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得 x 1＝－9＋a ， x 2＝－9－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－18）且 (－9＋a )(－9－a )＝40 （满足条件x 1x 2＝40）于是有81－a 2＝40，则a 2＝41，因此a ＝41∴ x 1＝－9＋41， x 2＝－9－41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一元二次方程的流程. 实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此流程解一元二次方程. 如例5：解方程2x 2＋9x ―5＝0，（法一）根据韦达定理有x 1＋x 2＝－92，x 1x 2＝―52. 在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x 1＝－94＋a ， x 2＝－94－a ，（满足条件x 1＋x 2＝－92）且 (－94＋a )(－94－a )＝―52. （满足条件x 1x 2＝―52）于是有 8116－a 2＝―52，则a 2＝12116，因此a ＝114∴ x 1＝－94＋114＝12， x 2＝－94－114＝－5. （法二）a ＝2，b ＝9，c ＝－5，∴ b 2－4ac ＝81＋40＝121，∴ x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝9±114，于是有x 1＝12， x 2＝－5. 当然，当二次项系数不为1时，运用韦达定理或求根公式解方程的计算量差不太多，因此当系数都是整数、分数时可根据实际情况讨论；若系数出现根式可考虑用韦达定理.。

北师大版九年级上册第二单元一元二次方程根与系数的关系复习讲义

2()2ba c a+2210⨯-=为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使20x = ⇒0 (0)a ≠定的两个根为0①-②得：2212)2x x x -221)4x x x -①②222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝，（x 1－x 2）2＝ 3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用二次函数简称抛物线：函数表达式：y=ax²+bx+c(a≠0);二次函数的几个重要性质必须熟记。

①a决定抛物线开口方向②抛物线对称轴x=-b/2a③△=b²-4ac（△决定该二次函数与x轴交点个数）。

圆的相切的定义：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，学习方法；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直线与圆的位置关系：相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

一元二次方程根的判别式.韦达定理

新方法一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理讲义中考要求知识点睛一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：2一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性．在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<，则此方程的正根小于负根的绝对值．当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +a b a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =． ⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程； ④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．重、难点1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解例题精讲一、判断方程根的情况【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。

对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。

现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。

首先，我们需要判断方程是否有整数解。

根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。

因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。

接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。

对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。

如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。

对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。

具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。

需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。

此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。

一元二次方程的解法与韦达定理练习题

一元二次方程的解法与韦达定理【知识提要】1.一元二次方程你知道有哪些常用解法？2.还记得如何用配方法解方程吗？配方时需要注意些什么？3.韦达定理是什么？你能推导吗？使用韦达定理的前提条件是什么？【典型例题】例1 （1）一元二次方程的一般形式是____ ___.其解为1x =_ ______,2x =__ _____.（2）将方程x x 2)1(2=+化成一般形式为___ _______.其二次项是__________，一次项是__________，常数项是_________.例2 用配方法解下列方程(1)0152=-+x x (2)01422=+-x x (3)036412=+-x x 例3 用公式法解下列各方程(1)01252=-+x x (2)061362=++y y (3)7962=++x x例4 用因式分解法解下列方程(1)022=+x x (2)22)12()1(-=+x x (3)4122=+-x x例5 用适当方法解方程：(1)x x 322=+ (2)232+=x x (3)02)3(2=-+y(4) )2(3)2)(1(2+=++x x x x （5）)3(215)3(2+-=+x x（6）01242=-+x x （7）0)12(532=++x x根与系数关系式一、填空题与选择题：1、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____.2、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6，那么=k ______3、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（）A 、3 C 、6 D 、94、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( )A.11B.17C.17或19D.19 二、解答题：5、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）)31)(31(1221x x x x ++6、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.7、m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；8、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。

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例题 1：
如果关于 x 的方程： x2 2x a 0的一个根是1- 2，求方程的另一个根及a的值。
例题 2：已知关于 x 的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0 的两个根互为倒数，求 a 的值。
2、构造方程进行计算：例题 1：已知 3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值
注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。 பைடு நூலகம்面给出公式（1）的推理：
|x1-x2|= （x1 x2 )2
(x1 x2 )2 4x1x2
( b)2 4( c )
a
a
b2 4ac
a2
=
a
韦达定理的应用： 1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。
例 2：
解方程： 3x 4 3 5 3x 1
5、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。例：
解方程： x2 7x 10 x2 7x 6 4
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6、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。
步骤：①把二次项的系数化为 1.
两边同时除以 a，可以得到：
X2+
b
x+
c
=0
aa
②配方：
（x+ b ）2+c- ( b )2 =0
2a
2a
③移项：
（x+ b ）2= ( b )2 -c 2a 2a
④用直接法求出方程的解。
X=- b ± ( b )2 c 2a 2a
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注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。
三、韦达定理对于方程 ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的解为：
b
x1=
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
那么就有：x1+x2=
b ,x1x2=
c
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a
a
除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：
（1）|x1-x2|=
a
（2）
1 x1
+
1 x2
=
a b
11 a (3) x1 x2 = c
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
注意点： ① 解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。 ② 解题步骤要规范。例: 解方程：x2+5x+2=0
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除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。 4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。例 1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0
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判别式的运用：（1）求方程系数的取值范围。例：已知方程 ax2+8x+a=0 有两个不同的实数根，求 a 的取值范围。
（2）求最大值最小值的问题。
例
1：求
y
x2
x2 3x
6
的最大值和最小值。
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例 2：已知 a>0,b>0,且 a+2b+ab=30,求 a、b 为何值时，ab 取得最大值。
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例题 2：已知 a,b,c 都是整数，且有 a+b+c=0,abc=16,求 a、b、c 三个数中的最大数的最小值。
例题 3：已知在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 S△AOB=4,S△COD=9,求四边形 ABCD 面积的最小值。
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推论：对于形如(x+a)2=b 的方程也是用直接开方的方法。注意点：①二次项的系数为 1，且 a≥0 ②如果 a 为根式，注意化简。例 1：解方程：5x2=1
例 2：解方程：x2= 4 2 3
例 3：解方程：4x2+12x+9=12
2、配方法：
对于形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。
例：解方程 x2 y 2 4x 2 y 5 0
除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？
二、判别式的运用：我们知道：方程 ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的解为：
b
x1=
b2 4ac ，x2= b
b2 4ac
2a
2a
其中，我们把： =b2-4ac 称之为判别式 (1) 当 >0 的时候，方程有两个不同的实数根。 (2) 当 =0 的时候，方程有两个相同的实数根。 (3) 当 <0 的时候，方程没有实数根。没有实数根与没有根是两个不同的概念。
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一元二次方程的解法及韦达定理
编号：一、一元二次方程的解法：例题 1：用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0
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【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？
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【一元二次方程的解法总结】
1、直接法：对于形如—x2=a 的方程，我们可以用直接法。方程的解为 x=± a
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一元二次方程习题 1、等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2-9x+18=0 的两个解，求这个三角形的周长。
【举一反三】例题 1：Rt△ABC 两边的长分别是一元二次方程 x2-5x+6=0 的两个解，求这个三角形的面积。
例题 2：矩形的两边的差为 2，对角线的长为 4，求矩形的面积。
例：解方程：x2+x=1
3、公式法：对于形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。根据配方法，我们可以得到方程的解为：
X=- b ± ( b )2 c 2a 2a
进一步变形，就可以知道：形如：ax2+bx+c=0（其中 a≠0）的方程的解为：
b
x1=
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2、解方程：（ 1） x2-2=-2x；（2）x（x-3）+x-3=0；（ 3） 4x2+12x+9=81．
3、先化简，再求值：（ a-1）÷（ 2 -1），其中 a 为方程 x2+3x+2=0 的一个根． a 1
【举一反三】例题 1：设 a,b 分别是方程 x2+3x+1=0 的两个根，求： (1)a2+b2+ab 的值；（2）求 a3+b3 的值