一元二次方程概念及其解法ppt课件
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21.1一元二次方程-完整版课件PPT
21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析：出现了x2 +4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
〔3〕9〔x+1〕2＝〔2x-5〕2 ；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 ＝ 0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
解：∵ a ＝ 9，b ＝ -12，c ＝ -1，
∴ Δ ＝ b 2-4 a c ＝〔-12〕2-4×9×〔-1〕＝ 144+36
(x + m) 〔x + n〕＝0
解法选择根本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕， 应选用直接开平方法； 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕，应选用因式分解法； 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕，先化为 一般式，看一边的整式是否容易因式分解，假设容易，宜选 用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法，左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ，看看图就能缓解眼疲劳， 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理，在一张二维 空间平面上，强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形，远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳，可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置，熟悉 一下最远处几个框细微的纹路，
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中，认真排除干扰，精神专注， 开始远眺，双眼看整个图表，产生向前深进的感 觉，然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
《一元二次不等式及其解法》示范公开课教学PPT课件pptx
定义：含有一个未知数且未知数最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式。
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
添加标题
题量适当，避免过多或过少
添加标题
添加标题
题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
重要性：一元二次不等式在数学中有着重要的地位，是解决许多实际问题的基础。 表达式：一般地，一元二次不等式可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其 中a、b、c是常数且a≠0。
解法：求解一元二次不等式可以通过配方法、图像法、公式法等多种方法进行求解。
添加 标题
化学：在化学中，一元二次不等式可以用来描 述化学反应过程中各物质的浓度变化情况，也 可以用来进行化学分析、计算等。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法公式及步骤
公式：$ax^{2} + bx + c = 0$， 其中a、b、c为系数，$\Delta = b^{2} - 4ac$
步骤2：判断不等式的解集
一元二次不等式在数学中的地位
概念：一元二次 不等式是指形如 ax^2+bx+c>0
或 ax^2+bx+c<0
的不等式
重要性：一元二 次不等式是中学 数学中一个重要 的内容，它与一 元二次方程、二 次函数等有着密
切的联系
解题思路：通过 观察和计算，确 定不等式的解集， 掌握解一元二次
不等式的方法
实际应用：一元 二次不等式在实 际生活中有着广 泛的应用，如环 境保护、金融投
题目难度适中，适合不同层次的学 生
覆盖知识点全面，体现一元二次不 等式的重点和难点
添加标题
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题量适当，避免过多或过少
添加标题
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题目类型多样，包括填空题、选择 题、解答题等
学生自主练习与思考
练习一元二次不等 式，掌握解题步骤
一元二次方程ppt课件
一元二次方程ppt课件
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
contents
目录
• 一元二次方程的定义 • 一元二次方程的解法 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的判别式 • 一元二次方程的根的性质 • 一元二次方程的根与系数的关系
01
一元二次方程的定义
定义与特点
定义
只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2的整式方程叫做一元 二次方程。
根的判别条件
判别式
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac，当 Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当 Δ<0时，方程没有实根。
VS
根的存在性
一元二次方程一定有两个实根，除非判别 式Δ<0。
根的性质与关系
根与系数的关系
一元二次方程的两个根x1和x2与系数a、b、c之间存在关系，如 x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a等。
配方法
步骤 1. 将方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 移项，使等号右侧为0。
2. 将二次项系数化为1，即方程两边都除以 $a$。
配方法
01
3. 将一次项系数的一半的平方加 到等式两边，使左侧成为一个完 全平方项。
02
4. 对方程两边同时开平方，得到 $x$ 的解。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项与 二次项系数之比。
根的平方和与积的性质
要点一
根的平方和
一元二次方程的根的平方和等于常数项与二次项系数绝对 值的商。
要点二
根的平方积
一元二次方程的根的平方积等于二次项系数绝对值的商。
感谢您的观看
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
《解一元二次方程》课件PPT
21.2 解一元二次方程 （第1课时）
铁头功
探究一
一个正方形瓷砖的面积为25m2，求这个正方形的边长。
解：设这个正方形的边长为xm.
01 x2 25
x 25
02
x 5
03 即 x1 5, x2 5
x 0 04 x 5舍去，即x 5
这个正方形的边长为5cm。
小试牛刀
(1)x2 12
x1 p , x2 p; (2)当p 0时，方程（Ι）由两个相等的实数根x1 x2 0; (3)当p 0时，因为对任意实数x，都有x2 0,所以方程（Ι）无实数根。
探究二
原正方形的边长为xm,增加2m后它的面积变成了49m2 ，求x。
解：（x 2）2 49 (1)
x 2 7
x 7
x1 7, x2 7 由题意得，x - 7舍去
x1 5, x2 5
x 7
即这个长方形的长为 3 7m，宽为2 7m。
综合应用
（1）x2 18
（2）x2 18 7
（3）x2 0 （4）2x2 18 0
（5）9x2 5 3 （6）（x 6）2 9 0
（7）（x 3）2 0 （8）（3 x 1）2 6 0
解：x 2 4 x 2 4或x 2 4
x1 6, x2 2
(3)( x 4)2 0
(4)( x 12)2 5
探究三 一个长方形，它的长与宽之比为3：2，面积为42m2，求它的长和宽。
解：设长方形的长为3xm，宽为2xm。
3x • 2x 42
6x2 42 x2 7
x2 25 x 5
x2 25 x 5
x 2 7或x 2 7 (2)
x1 5, x2 9
x1 5, x2 5
铁头功
探究一
一个正方形瓷砖的面积为25m2，求这个正方形的边长。
解：设这个正方形的边长为xm.
01 x2 25
x 25
02
x 5
03 即 x1 5, x2 5
x 0 04 x 5舍去，即x 5
这个正方形的边长为5cm。
小试牛刀
(1)x2 12
x1 p , x2 p; (2)当p 0时，方程（Ι）由两个相等的实数根x1 x2 0; (3)当p 0时，因为对任意实数x，都有x2 0,所以方程（Ι）无实数根。
探究二
原正方形的边长为xm,增加2m后它的面积变成了49m2 ，求x。
解：（x 2）2 49 (1)
x 2 7
x 7
x1 7, x2 7 由题意得，x - 7舍去
x1 5, x2 5
x 7
即这个长方形的长为 3 7m，宽为2 7m。
综合应用
（1）x2 18
（2）x2 18 7
（3）x2 0 （4）2x2 18 0
（5）9x2 5 3 （6）（x 6）2 9 0
（7）（x 3）2 0 （8）（3 x 1）2 6 0
解：x 2 4 x 2 4或x 2 4
x1 6, x2 2
(3)( x 4)2 0
(4)( x 12)2 5
探究三 一个长方形，它的长与宽之比为3：2，面积为42m2，求它的长和宽。
解：设长方形的长为3xm，宽为2xm。
3x • 2x 42
6x2 42 x2 7
x2 25 x 5
x2 25 x 5
x 2 7或x 2 7 (2)
x1 5, x2 9
x1 5, x2 5
《一元二次方程》一元二次方程PPT课件
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
学习目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
新知探究
跟踪训练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系
数、一次项系数和常数项．
（1） x 2 2 4；
x2 4x 0 1 -4 0
（2）2 x 3 x 4 x2 10 ；
x2 2x 14 0 1 2 -14
（3）x2 x 1 1． 32
2x2 3x 9 0 2 -3 -9
新知探究 知识点3
x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
对接中考
关于 x 的一元二次方程 x2-(a2-2a)x+a-1=0 的两个实数根互为相反数，
则 a 的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
已知x1，x2是一元二次方程 x2−2x＝0 的两个实数根，下列结论错误的是 (D )
方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
新知探究
一般的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 中，二次项系数 a 未必是1，它的两个 根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
新知探究
由求根公式知
x1 b
b2 4ac 2a
x2 b
b2 4ac 2a
x1 x2 b
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
解一元二次方程
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 （a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？ 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； • 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21
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解：我们设剪去的正方形的边长为xcm，那 么制成的盖盒B的边长分别为（100-2x)cm、
（50-2x)cm，面积为3600 cm2,得到：
（100-2x)(50-2x)=3600
化简为：
？ x2 75x 350 0
想一想
对于这样的一元二次方程我们
如何去求得其解呢？
解法
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
7
◆一元二次方程的解法：
解 方 程
2020/3/29
公式法 因式分解法
配方法
09数本二班 朱先钊
8
※公式法：根据所提供的求根公式，
把题中相关的值代入其中求出方程的解。
x2 75x 350 0
根据公式： x b b2 4ac 2a
其中 a 1 b 75 c 350
代入公式求得：x1 5 x2 70
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
12
反过来说
• ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数 根 Δ＞0. ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数 根 Δ＝0. ax²+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根 Δ ＜0.
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
13
知识运用
§1.2 一元二次方程的解法
ax2 bxc0
进入学习
1
◆学习目标分析
◆一元二次方程的一般式 ◆课本案例导入
◆一元二次方程的解法
◆本节归纳总结
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
2
◆学习目标：
1、熟悉一元二次方程的一般式。 2、理解配方法的概念，及配方法的原理，并
能熟练配得任何一元二次方程的完全平方。 3、掌握十字相乘分解法，对于整数范围
例1 不解方程，判断下列 方程的根的情况：
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
14
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
17
（2）x2+2x+2=0
解： a=1，b=2，c=2 ∵b²-4ac=2²-4×1×2=4<0
∴此方程无实数解
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
18
（3）2x2-7x=0
解：a=2，b=-7，c=0 b²-4ac=（-7）²-4×2×0=49>0
Х=
=
Х1=
Х2=0
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
因为 x2 70 50 ，所以本题解 x 5
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
9
※因式分解法：把一个整式通过变形
化成几个整式或因式的乘积的过程。
x2 75x 350 0
因式分解得： (x 70)(x 5) 0
得到：x1 70 x2 5
又因为 x1 70 50
所以，本题解得 x 5 为原题的解。
5 x2 3
1
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
5
◆案例导入：
小王要将一块长100cm宽 50cm的长方形 铁块的四个角分别剪去一相同大小的正方 形，从而制成一面积为3600cm2 的铁皮盖 盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用数 学方程的思想帮小王合理策划呢？
A
裁剪前
B
裁剪后
6
怎样解这道实际应用题呢？
（1）3x2+5x-1=0 （2）x2+2x+2=0 （3）2x2-7x=0
（4）4x²+1=-4x
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
16
（1）3x2+5x-1=0 解：a=3，b=5，c=-1， b²-4ac=5²-4×3×（-1）=37>0
X=
=
Х1=
Х2=
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
1、遇到一个二次方程时，看是否满足一元二次方程的 定义，如果满足则按照解一元二次方程的方法解题。
2、一个一元二次方程只有二次项和常数项，那么我们 直接运用开平方法就能很快解得此题。
想一想
1、你能举出几个一元二次 方程一般式的例子吗？
2、根据一元二次方程的定 义及一般式能否推断出一元 三次方程的定义及一般式呢？
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
返回4
例1: 判断下列方程是不是一元二次方程
(1)3x2 1 y 0 3
(2)2x 7 y 0
(3)3x x2 4
(4)
2
70
095数0本二，班所朱先以钊 本题有
x
5
11
一、公式法： 一元二次方程的根的判别式我们通常用 希腊字母Δ（读作“德尔塔”）来表示。
因此b²-4ac叫做一元二次方程的根的判别式
用符号“Δ”表示是： Δ =b²-4ac
若是Δ＞0，则此一元二次方程有两个不相等的实 数根； 若是Δ=0，则此一元二次方程有两个相等的实数 根； 若是Δ＜0，则此一元二次方程没有实数根。
上面这个式子称为一元二次方程的求根ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
15
例1.用公式法解方程
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
10
※配方法：将方程的左边化成含未知
数的完全平方，右边是数值的过程。
x2 75x 350 0
x2 75x (75)2 (75)2 3500
2
2
配方得到：(x 75)2 (75)2 3500
2
2
解得： x1 5 x2 70
又因为 x 2020/3/29
内的数相乘的整式能很快分解出来。 4、牢记用公式法解方程的公式，并能通过一
般式推断出来。 5、通过本节的学习，可以由题目中方程
的形式来找到解题的最优方法。
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
返回
3
◆一元二次方程的一般式：
一元二次方程，就是只有一个未知数 且未知数最高次数为2的整式方程，
其一般形式为： ax2 bx c 0
19
（4）4x²+1=-4x
解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
X=
=-
=- X1=X2
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
20
巩固练习 （1）x²+3x-4=0
（2） x²- x=1
2020/3/29
09数本二班 朱先钊
21
◆对解一元二次方程的归纳总结：