同济大学大一_高等数学期末试题_(精确答案)

课程名称：《高等数学》

试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次：

适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不

得分则在小题

大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷）

一、单选题（共15

分，每小题3分）

1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )

A ．(,)f x y 在P 连续

B ．(,)f x y 在P 可微

C ． 0

0lim (,)x x f x y →及 0

0lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)

lim (,)x y x y f x y →存在

2．若x

y

z ln =，则dz 等于（ ）．

ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x

ln ln ln .ln x x

y y

C y ydx dy x

+ ln ln ln ln .

x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面22

2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则

(),,(=⎰⎰⎰Ω

dxdydz z y x f ）

． 21

2

cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π

θ

θθθ⎰

⎰

⎰ 21

2

00

cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π

θ

θθθ⎰

⎰

⎰

21

2

2

cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π

θ

πθθθ-⎰⎰

⎰

21

cos .(cos ,sin ,)x

D d rdr f r r z dz π

θθθ⎰⎰

⎰

4． 4．若

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．

A ． 条件收敛

B ． 绝对收敛

C ． 发散

D ． 敛散性不能确定

5．曲线22

2

x y z z x y

-+=⎧⎨

=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）

二、填空题（共15分，每小题3分）

1．设220x y xyz +-=，则'

(1,1)x z = . 2．交 换ln 1

(,)e

x

I dx f x y dy =

⎰

⎰

的积分次序后，I =_____________________．

3．设2

2z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .

4. 已知0!n x

n x e n ∞

==∑，则x

xe -= .

5. 函数3322

33z x y x y =+--的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1.（本小题满分6分）设arctan y z y x =, 求z x ∂∂,z

y

∂∂.

2.（本小题满分6分）求椭球面222

239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.

3. （本小题满分7分）求函数22

z x y =+在点(1,2)处沿向量132l i j =

+方向的方向导数。

4. （本小题满分7分）将x

x f 1

)(=展开成3-x 的幂级数，并求收敛域。

5．（本小题满分7分）求由方程088222

22=+-+++z yz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =的极值。

6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(2

22=-=--=+⎰⎰y y y x D d y x D

由曲线σ及2-=x 围成.

7.（本小题满分7分）利用格林公式计算⎰

-L

x y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.

8.（本小题满分7分）计算⎰⎰⎰

Ω

z y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域. .

四、综合题（共16分，每小题8分）

1．（本小题满分8分）设级数

1

1

,n n

n n u v

∞∞

==∑∑都收敛，证明级数

21

()n

n n u

v ∞

=+∑收敛。

2．（本小题满分8分）设函数),(y x f 在2R 内具有一阶连续偏导数，且2f

x x

∂=∂， 证明曲线积分

2(,)L

xydx f x y dy +⎰

与路径无关．若对任意的t 恒有

(,1)

(1,) (0,0)

(0,0)

2(,)2(,)t t xydx f x y dy xydx f x y dy +=+⎰

⎰

，求),(y x f 的表达式．

参考答案及评分标准

一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. I =

10

(,)y

e

e dy

f x y dx ⎰⎰

3. →

→

→

-+-k j i 242 4 1

(1)!n n n x n +∞

=-∑ 5. (2,2)

三、解答题（共54分，每小题6--7分）

1．解：2

2

2

y

x y x z +-=∂∂; (3分) y z

∂∂=x y arctan +2

2y x xy + ( 6分). 2. 解：记切点000(,,)x y z 则切平面的法向量为0002(2,3,)n x y z =满足：000

23232

x y z ==- ，切点为：(1,1,2)-或(1,1,2)-- (3分)，切平面：23299x y z or -+=- ( 4分)， 法线方程分别为：

112

232

x y z +-+==-或者112

232

x y z -+-==

- ( 6分) 3. 解：(1,2)(2,4)f ∇= ( 3分),

(1,2)

1f l

∂=+∂ ( 7分) 4. 解：)3(31

)(-+=x x f =)

3

3(113

1-+⋅x , ( 2分)

因为 ∑∞

=+=-011)1(n n

n x x ，)1,1(-∈x ,所以∑∞=-⋅-=-+⋅

)33(31)1()3

3(1131n n n x x =∑∞=+--0

1)3()31()1(n n n n x ,其中13

31<-<-x ，即60<

当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞

=⋅-0

31)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n

n n x ，)6,0(∈x ，

( 7分)