高中物理竞赛之非惯性系

由于=7.29x10-5弧度/秒，很小：
简化

2 2
GMm m R cos P [ 1 ] 2 R2 GMm / R GMm 2 2 m R cos , R2 2 R sin 2 / 2 g.
重量是引力与惯性离心力的合力；
z’
GMm/R2
矢量积（叉乘）：
结果为矢量，方向按右手法则 一个矢量与另一个矢量的垂直分量的乘积
标量积（点乘）：
结果为标量 一个矢量与另一个矢量的平行分量的乘积
加速度（另一种推导 ）：
a v ( r ) r ( r ) at r , an v ( r ).

解3：由解1的结果推导解2
y’
y
x' x cos t y sin t y ' x sin t y cos t
切向惯性力
物体相对于 转动参考系 静止。
例（P165）：试研究地面上物体的重量。所谓 重量即静止于地球上的物体施于其承托物的力。 z’ 隔离物体 具体分析（重力、惯性离心力) 建立坐标(Z’为天顶,X’为南方)
列出方程
GMm/R2

m2Rcos
惯性离心力 Px ' 0 m 2 R cos sin ,
非 惯 性 参 考 系
惯性参考系
“静止”参考系 运动
“绝对”
惯性参考系：物体惯性定律成立的参考系。 惯性力 牛顿运动定律 （自由质点相对它静止或作匀速直线运动的参考系。） 非惯性参考系 “运动”参考系 “相对” 运动
主要研究相对于“运动”参考系的运动定 律。
关键：掌握“绝对、牵连和相对”加速 度之间的关系，从而正确计入惯性力。
解：以转轮为参考系 （非惯性系）
2 v 向心加速度为 2 / r
Fc=2mv2 hamster受力 F离=m2r 转轮
N: 待求
N
Fc=2mv2
v2
2 m 2 r 2mv2 N mv2 /r
2 N m 2 r 2mv2 mv2 /r F离=m2r ( =v1/r) m(v2 v1 ) 2 / r
T -mg -ma0 T -mg
o
运动方程
x
0 T sin ma0 , mg T cos 0.
o’
0 T sin ma0 0,
x’
mg T cos 0 0.
tg a0 / g.
tg a0 / g.
电梯、加速车厢里的氢气球如 N+mg-ma=0 电梯、加速车厢里的氢气球 何运动？ 如何运动？
相对于转动参考系作匀速直线运动的质点：
a 科氏加速度 a r ( r ) 2 v '. c.
“静止”参考系中，牛顿运动定 律：
F ma m r m ( r ) mac .
R v0
建立坐标(“自然”坐标系) 运动方程
dv m N , dt v2 m N m 2 R 2mv. R
求解及分析
dv dv (v R) 2 分离变量 dt. . 2 (v R) R dt R R(v0 R) R. 速度 v R t (v0 R)
牛顿第二定律
（1）惯性力并非牛顿力，并不存在特定物
体间相互作用，因而不存在反作用力； （2）平动参考系中所有质点都受到惯性力， 与“重力”相似。（无法区分引力与惯性来自百度文库）
例（P155）：汽车以匀加速度a0向前行驶，在 车中用线悬挂着一个小球。试求悬线达到稳定 时与竖直方向所作角度。 y’ a y a0 0
F ma0 ma '.
牵连加速度
惯性离心力 比较
v’
m2r
惯性离心力

科里奥利力
r
2mv’
科里奥利力
例：试分析hamster的运动情况
解：
以地面为参考系（惯性系），
hamster受力为零， 向心加速度为零，
d 2x 0, 2 dt
d2y 0 2 dt
以转轮为参考系（非惯性系）
v [v' cos t (r v' t ) sin t ] v' [v' (r v' t )t ] v' rt.
2
v’
v
t
v [ (r v' t ) cos t v' sin t ] r v t [ (r v' t ) v't ] r 2v' t.
x’
合力
GMm 2 2 Pz ' m R cos . R2
GMm 2 2 2 2 2 P ( m R cos ) ( m R cos sin ) , 2 R GMm 2 2 2 arctg m R cos sin /( 2 m R cos ). R
Fc 2m v ' 2mv '. 方向判断：类 f qv B 似于洛仑兹力
科里奥利力的方向： 北半球——向右 南半球——向左
左、右不同 因为南半球人是头向“下” 的
(B) Fc Fc v(qv)
(B)
v(qv)
上
Fc
上
关键：掌握“绝对、牵连 质点作一般的“相对” 运动 a’0 和相对”加速度之间的关 v v ' r . 系，从而正确计入惯性力。
引力的均匀部分：
可以通过“加速度”被“创造出来” 和 被“消灭掉”;
引力的非均匀部分(即引潮力)：
是时空弯曲的反映， 具有更为本质的意义
定量的计算表明：
海水两端凸起，引潮力反比于 r 3 ！
大潮和小潮
= 2.20
讨论相对于“转动” 转动参考系（一） 参考系相对静止的情 mv2 2 况。 f ma mR . 惯性离心力 惯 R 惯性离心力 v=r f=m2r T
a lim a lim v t v t
t 0
2’
2 r , 2v'.
径向加速度 科氏加速度
(r+v’t)
t 0
ac 2 v '.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度v’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’t)，故又产生了横向加速度 v’，因而科氏加速度为2v’.
m2Rcos
x’
重量大小小于真正的引力大小；
重量指向偏离引力指向。
转动参考系（二）
科里奥利力
v’ (r+v’t) 2
O
讨论相对于“转动” 参考系相对运动的情 况。 2’ v’ v
t
v
t
v’
r
t
v’ 1
2’
O
(r+v’t)
假定t很小, cos t ~ 1, sin t ~ t , (t ) 2 0.
位置
ds v dt
R t (v0 R) s ln Rt . R R
练习：p516(9.6) 质量为m的质点在光滑的水平桌面上运动， 桌子绕通过原点的竖直轴以匀角速转动。求质点的运动方程。 解1：以地面为参考系（惯性系），质点在桌面内受力 为零，所以 d 2x d2y
dt
例（P180）：一水平光滑圆盘绕着O点以匀角速旋 转。盘上有一圆形轨道，质点被约束在轨道内运动。 开始时，质点以相对速度vo运动，求此后质点的运 动情况。质点质量为m，与轨道的摩擦系数为。 分析（转动参考系）
约束反力N，摩擦力N， 科氏力 Fc=2mv, 离心惯性力 F离=m2R
v?
法向加速度
切向加速度
“静止”参考系中，牛顿运动定 律：
F ma m r m ( r ). F m r m ( r ) 0 ma '.
惯性离心力
“转动”参考系中，牛顿运动定律：
P点的加速度
矢量式
2 2
r’
O’ 矢量式与原点的在轴线上的 位置无关!
an r r ' sin
at dv / dt r ' sin d / dt an v ( r ) a r
t
矢量叉乘的例子
将电梯、车厢的加速运动等效为重力 N’= -N = mg-ma 场，再考虑浮力
a<0, 加速度向上，超重 a>0, 加速度向下，失重
自由落体： a=g N’= 0
完全失重
“昼涨称潮,夜涨称汐” “潮者，据朝来也; 汐者,言夕至也” —葛洪《抱朴子· 外佚文》
如果说，潮汐是月球的万有引力吸引海水造成的，那 么 （1）为什么向着和背着月亮一面的海水都升高，从而 一昼夜涨两次潮？ （2）按距离平方反比计算，太阳对海水的引力比月亮 大180倍，为什么说潮汐主要是月亮引起的？
平动参考系
平动不一定是直线运动
r r 0 r ', r r 0 r ', (v v 0 v ' ), a a 0 a '.
P
r
r’
“运动”系
r0 O‘“静止”系
伽利略变换 O vo为“牵连”速度， ao为“牵连”加速度；(普 遍性） v’为相对速度， a’为相对加速度. (特殊性）
惯性系
T
非惯性系
质点施于其它物体. 相对于转动的参考系，应计入惯性离心力；
如转速有变化，还应计入切向惯性力； 注意区别惯性离心力（惯性力）与离心力（牛顿力）。
角速度（矢量）
右手法则
O
v r r ' sin 角速度矢量 速度 v r r '
2
0,
dt
2
0
y’
v’ F离
解2：以桌面为参考系（非惯性系） 受力: Fc=2mv’, F离=m2r’

Fc
x’
d 2 x' dy ' 2 2 m 2 m x'2mv' sin m x'2m dt dt d 2 y' dx' 2 2 m 2 m y '2mv' cos m y '2m dt dt
“转动”参考系中，牛顿运动定律：
F m r m ( r ) mac 0.
惯性离心力 科里奥利力
切向惯性力
Fc 2m v ' 2mv '. 方向判断：类 f qv B 似于洛仑兹力
F ma ma ' ma0 两个参考系作 匀速相对运动。 若a 0 0, 则F ma ' 特定物体对 对此特定物体 于参考系的 F m a m a ' 0 的作用特征。
运动特征。 引入“惯性力”（-ma0）后，牛顿运动定 律就“仍然”成立。 注意：
转轮
Fc=2mv
受力情况？
v
Hamster的加速度： 2r Fc-F离=ma’
F离=m2r
2mv-m2r = m2r
思考：如果转轮的速度是 =v1/r, hamster的相对速度为 v2,以转轮为参考系再分析hamster的运动情况。
思考：如果转轮的速度是 =v1/r, hamster的相对速度为 v2,以转轮为参考系再分析 hamster的运动情况。
a a ' r ( r ) 2 v '. F ma ma 'm r m ( r ) mac . F m r m ( r ) mac ma '.