2.2线性常系数微分方程的解法

ki 1,
而且 k1 k2 km n, i j (i j ), 则方程（1）相应有解
e 2t , te2t , t 2 e 2t , , t k2 1e 2t , （10） m t m t 2 m t k m 1 m t e , te , t e , t e . 可以证明（9）,（10）构成方程（1）的基本解组。
性质2: 性质3:
d ( z1 (t ) z2 (t )) dz1 (t ) dz2 (t ) dt dt dt d [cz1 (t )] dz1 (t ) c dt dt d [ z1 (t ) z2 (t )] dz1 (t ) dz2 (t ) z2 (t ) z1 (t ) dt dt dt
即证明这些函数线性无关.
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求常系数齐线性方程方程的通解的一般步骤：
dnx d n 1 x dx a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt 第一步 求方程的特征方程及特征根 1 ,, n
第二步 计算方程相应的解 k t 有解 e a) 对每一个单实根 k b) 对每一个m 1重实根 k 方程有m个解 c) 对每一个重数为1的共轭复根 i t t 方程有2个解： e cos t , e sin t d)对每一个重数 m 1的共轭复根 i ……
就称 z (t ) 在区间上(a,b)上连续.
2 可微 如果实函数 (t ) 和 (t ) 在区间(a,b)上 可微, 就称 z (t ) 在区间上(a,b)上可微. 且复值函数 z (t ) 的导数定义如下:
dz d d i dt dt dt
2
若 z1 (t ) 和 z2 (t ) 可微, c为复值常数， 那么有如下性质: 性质1:
( i t )
1 i t i t 1 i t i t sin t ( e e ) cos t (e e ) 2i 2
4
2) 复指函数的性质
记 i 表示 i 的共轭. 性质1: 性质2: 性质3:
et et
e
( 1 2 ) t
x(t ) c1e1t c2ห้องสมุดไป่ตู้2t cn ent
其中 c1, c2, , cn 为任意常数.
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dnx d n 1 x dx a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt （2）若 i (i 1,2,.n) 中有复数，
e1t , e2t ,, ent
为求得该方程的通解，我们先利用
待定指数函数法求其基本解组.
dx x 一阶常系数齐次线性微分方程 dt 有通解 x ce t
9
dnx d n 1 x dx （1） a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt 因此，对方程（1）求指数函数形式的解 t （ 2） xe 把（2）代入方程（1）得
x z (t ) (t ) i (t )
满足上述方程， 则称 x z (t ) 为上述方程的复值解.
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定理1
如果方程
dnx d n1 x dx a1 (t ) n 1 ……an 1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
中所有系数 ai (t )(i 1,2, n) 都是实值函数.
e , te ,, t e
k t
k t
m1 k t
第三步
根据第二步写出基本解组和通解
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d 3x d 2x 例1：求 dt 3 3 dt 2 4 x 0 的通解.
解：特征方程
3 3 2 4 0
2,3 2
故特征根为 1 1
其中 1 1 是单根， 2,3 2 是二重根， 因此有解 e t , e 2t , te2t . 方程通解为：
证明：由已知条件及 L[ x] 的性质可得 L[ (t ) i (t )] L[ (t )] iL[ (t )] 0
由此得 又 因为
L[ (t )] L[ (t )] 0
L[ z (t )] L[ (t )] iL[ (t )]
(t )都是原方程的解 所以 (t )，
e e
1t
2t
d t (e ) e t dt
5
4
复值解
dnx d n1 x dx a1 (t ) n1 ……an1 (t ) an (t ) x f (t ) n dt dt dt
考虑方程
其中 ai (t )(i 1,2, n) 及 f (t )是区间 a t b上的实函数. 若有区间（a,b）上复值函数:
e2t 2 e2t

en t n en t
1 2 t n 1 n t n e 2 n e
1 e
( 1 2 n ) t
1

1
1

n 1 1
2

1 n 2
n

1 n n

1 j i n
(i j ) 0 所以解组（5）线性无关.
而 z (t ) (t ) i (t ) 是该方程的复值解,
则 z (t ) 的实部 (t ) 和虚部 (t ) 以及 z (t ) 的
共轭 z (t ) 也都是该方程的解.
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dnx d n1 x dx a1 (t ) n 1 ……an 1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
L[et ] (n a1n1 a2n2 an1 an )et 0
e t成为方程（1）解的充要条件为：
F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （4） 方程（4）称为方程（1）的特征方程，它的根称
3
3
欧拉公式
1) 复指函数与欧拉公式
e t e( i )t e t ei t
2 3 ( i t ) ( i t ) 其中 e 1 i t 2! 3! ( t ) 2 ( t ) 4 ( t )3 ( t )5 [1 ] i[ t ] 2! 4! 3! 5! i t e cos t i sin t cos t i sin t
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dnx d n 1 x dx （ 1 ） a a a x 0 1 n 1 n dt n dt n1 dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3） 1t （2）若 1 0 ,作变换 x ye ,代入方程： n n d y d y 1t L[ ye ] ( n b1 n bn y)e1t L1[ y ]e1t （6） dt dt n n 1 d y d y dy L1[ y ] n b1 n 1 bn1 bn y 0 （7） dt dt dt 特征方程： G( ) n b1 n1 bn1 bn 0（8）
为方程（1）的特征根.
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dnx d n 1 x dx a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt
（1）
F ( ) n a1 n 1 a2n 2 an 1 an 0（4）
1 特征根为单根
设 1 , 2 ,, n是（4）的n个不相同根，
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dnx d n 1 x dx （1） a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt F ( ) n a1 n1 a2n2 an1 an 0 （3）
类似地，假设方程（3）的其他根 2 , 3 ,m 的重数依次为 k2 , k3 ,km ;
则对应方程（1）有n个解
e , e , , e
1t 2t nt
（ 5）
这n个解在区间a t b上线性无关，
从而组成方程（1）的基本组解.
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e , e , , e
W [e1t , e2t ,, en t ]
1t
2t
nt
（ 5）
e1t 1e1t n 1 1t 1 e
则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现. 设 1 i 是特征根，则 2 i 也是特征根， 则方程相应地有两个复值解：
e( i )t et (cos t i sin t ) e( i )t et (cos t i sin t )
L[ (t )] L[ (t )] 0 可得
L[ z (t )] 0
即 z (t ) 也是原方程的解.
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二
常系数齐次线性方程
dnx d n 1 x dx a1 n1 an1 an x 0 （1） n dt dt dt
（其中 a1 , a2 , an为常数）为n阶常系数齐次线性方程.
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dnx d n 1 x dx a1 n1 an1 an x 0 n dt dt dt
（ 1） （ 5）
e , e , , e
1t
2t
nt
（1）若 i (i 1,2,.n) 均为实数， 则（5）是方程（1）的n个线性无关的实值解， 则方程（1）的通解为
由定理1知它们的实部和虚部也是方程的解， 故方程的两个实值解为： e t cos t , e t sin t
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2 特征根有重根 设特征方程有k 重根 1 ,则有 F (1 ) F ' (1 ) F ( k 1) (1 ) 0, F k (1 ) 0 （1） 若 1 0 则特征方程有因子k，因此， an an1 ank 1 0 则特征方程有形式： n a1 n1 ank k 0 dnx d n 1 x dkx 而对应的齐线性方程为： n a1 n1 an k k 0 dt dt dt 特征方程的k 重零根对应齐线性方程 k个线性无关解为 1, t , t 2 ,t k 1
x(t ) c1e t c2e 2t c3te2t .
其中 c1 , c2 , c3 为任意常数.
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d x 的通解. 例2：求 x 0 dt 4
F ( 1 )e( 1 )t L[e( 1 )t ] L1[e t ]e1t G( )e( 1 )t F ( 1 ) G( ), F ( ) 0的k 重根1对应着
G ( ) 0 k重零根.对应着方程的 k1个解 1t 1t 2 1t ( k 1) 1t e , te , t e ,, t e . （9）
2.2常系数线性方程的解法
在上一节中我们讨论了线性方程通解的 结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出， 对一般的线性方程没有普遍的解法， 但对常系数线性方程及可化为这一类型的方程，
可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数
齐次方程通解的解法。
1
一
复值函数
如果 (t ) 和 (t ) 是区间(a,b)上定义的实函数， 称 z (t ) (t ) i (t )为该区间上(a,b)的复值函数 . 1 连续 如果实函数 (t ) 和 (t ) 在区间(a,b)上 连续,