6.1孤立奇点的分类

m 1
( m 1 )! z z 0 dz
( z z 0 ) m m 1
P ( z0 ) Q ( z 0 )
f (z)

(4) 设 f ( z )
P(z) Q(z)
, P ( z ) 及 Q ( z ) 在 z 0 解析，且 P ( z 0 ) 0 ,
Q ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , 则
)
1
2
, 0]
z z
例3 求下列函数在无穷远处的留数：
(1 ) f ( z )
3z 2 z (z 2)
2
解： lim f ( z ) 存 在 且 有 界 ， z 为 可 去 奇 点
z
1 1 3 2z R es[ f (z ), ] R es[ f ( ) 2 , 0 ] R es[ ,0] 0 2 z z 1 2z
n
1
2! z 2
4! z 4
( 2 n )! z 2 n
]
z 0 为 f ( z )的本性奇点
f ( z ) 在无穷远点
处的性态
设 f ( z ) 在无穷远点 z 的去心邻域 R z 内解析
Laurent 展式为:
f (z)
n


C nz
n
t
(2) f ( z )
z 1 z
解 ： z 时 1
f (z)
z 1 z

1 1 1 z
(1
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1 z

1 z
2
)
R e s [ f ( z ), ] C 1 1 .
0 z z0 , f (z)
n m



n
C n ( z z0 )
m
n
C m ( z z0 )
f ( z ) ( z z0 )
m
C 1 ( z z 0 ) C 0 C 1 ( z z 0 )
2
n

n
负幂项无穷多项
lim f ( z ) 不存在也不为
z z0

根据 z z 0时 f ( z )的极 限分类：
可去奇点 极点 本性奇点 lim f ( z ) 存在且有界
z z0
lim f ( z )
z z0
lim f ( z ) 不存在且不为
Res[ f (z ), z 0 ]
证明
( 3 ) 若 z 0 为 f ( z )的 m 级极点 ,则在 z 0的去心邻域内
f ( z ) C m ( z z0 )
m
C 1 ( z z0 )
1
C 0 C 1 ( z z0 )
Cm 0
( z z0 )
第6节 解析函数的孤立奇点
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。
一.孤立奇点及其分类
定义1 若f ( z ) 在z 0 不解析，但在z 0 的某一去心邻域
0 z z 0 内解析，则称
z 0是 f ( z ) 的孤立奇点。
孤立奇点 奇点 非孤立奇点
1
g ( z ), 其 中
g (z ) C m C m 1 ( z z 0 ) C m 2 ( z z 0 ) 在 z z 0 解 析 , lim f ( z )
z z0
（3）z 0为
f ( z )的本性奇点： C n ( z z 0 )
的系数C m , C m 1 , 中可能有一个或几个为零而已， 这不影响证明结果。
例2 求下列函数的有限奇点并计算留数：
(1 ) f
z

1 z ( z 1)
2
解 z 0 为 f ( z )的 二 级 奇 点 , z 1 为 一 级 奇 点
R e s [ f ( z ), 0 ] 2 ( 2 1) ! lim [ z
m
f ( z ) C m C 1 ( z z0 )
d m 1 m
m 1
C 0 ( z z0 )
m
,
于是
lim [( z z 0 ) ( m 1 )! z z dz m 1 0 1 1 f ( z )]
2 lim ( m 1 )! C 1 m 2 C 0 ( z z 0 ) ( m 1 ) 3 C 1 ( z z 0 ) ( m 1 )! z z 0

2
( 1) )
k 1
(k

2
)
( k 0, 1, 2 )
无穷远点处的留数
设 f ( z ) 在无穷远点 z 的去心邻域 R z 内解析
L 为 R z 内任一条逆时针方向的 则 f ( z ) 在 处的留数定义为
简单闭曲线，
解 ： 令 co s z 0 , z k

2
( k 0 , 1, 2 )
(co s z )
z k

2
sin z
z k

2
0, k

2
为一级极点
R e s [ f ( z ), k

2
k ]

2
sin ( k
z z0

定义2
若 f ( z 0 ) 0 , 则称 z 0 为 f ( z ) 的零点。
m
若 f ( z ) 能表示成 f ( z ) ( z z 0 ) ( z ), 其中 ( z ) 在 z 0 解析且 ( z 0 ) 0 ， m 为一正整数 为 f ( z ) 的 m 级零点。 , 则称 z 0
( 2 ) 若 z 0 为 f ( z )的 1 级极点 , 则
m 1
Re s [ f ( z ), z 0 ]
z z0
lim ( z z 0 ) f ( z )
( 3 ) 若 z 0 为 f ( z )的 m 级极点 , 则
Re s [ f ( z ), z 0 ] 1 lim d
L
f ( z )dz 2 iC 1
L
f ( z )dz 为 f ( z ) 在 z 0的留数，记为
Res [ f ( z ), z 0 ], 即 Res [ f ( z ), z 0 ] 1 2 i
L
f ( z )dz C 1
留数计算法：
( 1 ) 若 z 0 为 f ( z )的可去奇点 , 则 Res [ f ( z ), z 0 ] 0
1 t
1 z
0 t
n
( t ) f ( ) 在 t 0的去心邻域
1 R
内解析
Laurent 展式为: ( t )
n


C nt
t 0为 ( t )
(t )
n
可去奇点
n
极点
本性奇点


C nt
无负幂项
有限个
负幂项
无穷个
负幂项
分 子 的 三 级 零 点 ， 为 f ( z )的 三 级 零 点 。
R es[ f ( z ), 0 ]
1 2
2 (3 1)!
)
//
lim [ z f ( z )]
z 0
3
// z0

lim (
z 0
z sin z z
3
1 5!
(3) f ( z)
z co s z


C 1 Re s [ f ( z ), z 0 ]
注：（ 3）中取 m 1 , 即得（ 2）； 1.
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可 当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f ( z ) ( z z0 ) m (C m C m 1 ( z z 0 ) C 1 ( z z 0 ) m 1 C 0 ( z z0 ) )
z 0 2 2
1 z ( z 1)
]
/
= lim [
z 0
1 ( z 1)
1
2
2
]= -1
]1
R e s [ f ( z ), 1] lim [( z 1 )
z1
z ( z 1)
(2) f ( z)
z sin z z
6
解 ： 有 限 孤 立 奇 点 z= 0,z= 0为 分 母 的 6 级 零 点
n
f (z) C n ( z z0 ) n0 C0
n

0 z z0 z z0
lim f ( z ) C 0
z z0
重新定义
f ( z 0 ) C 0 , 则 f ( z ) 在 z 0 解析 .
（2） 0 为f ( z ) ( m 级)极点： C n ( z z 0 ) n 负幂项只有m项 z
本性奇点
无穷多个 正幂项
不存在 且不为
z 为 f (z)
f (z)
可去奇点
无正幂项
存在且有界
极点
有限个 正幂项
n


C nz
n
lim f ( z )
z
为
练 习 ：. f ( z ) 1
z 1 z
2
2 .f ( z ) 1 z z
1 z
3 . f ( z ) sin z
性质1 若 f ( z ) 在 z 0 解析 , 则 z 0 为 f ( z )的 m 级零点
f
(n)
( z0 ) 0
( n 0 ,1, , m 1),
z 0为 1
f
f (z)
(m )
( z0 ) 0.
性质2
z 0 为 f ( z )的 m 级极点
的 m 级零点
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型： z (1) f ( z ) 2 s in z
2 z
z 0 为 f ( z )的 3 级 极 点 ,
z k 2 k i ( k 1 , )为 f ( z )的 1级 极 点
(3) f ( z ) z cos
1 z
解 奇点 : z 0
f ( z ) z cos 1 z z [1 1 1 1 1 ( 1)
二.留数
设 z 0为 f ( z ) 的孤立奇点,在 z 0 的去心邻域 0 内 ， ( z ) 的Laurent 展式为: f
对上式两边积分得
称 C 1 1 2 i
f (z)
z z0
n


C n ( z z0 )
n
L 为 0 z z 0 内包含 z 0的任一条简单闭曲线，
2 2 2 2
z 0为 一 级 极 点
(2) f ( z)
1 z (e
2 z
1)
解： z
z
0 为 z 的 2 级 零 点 , z k 2 k i ( k 0 , 1 , )为
2
e 1的 1级 零 点 z 0 为
1 f(z)
z ( e 1 )的 3 级 零 点
根据Laurent级数的形式分类： 设z 0为 f ( z ) 的孤立奇点,在 z 0的去心邻域 0 z z 0 内， z ) 的Laurent 展式为: f ( z ) C n ( z f(
n


z0 )
n
z （1） 0 为 f ( z ) 的可去奇点： 若 C n ( z z 0 ) n 中无负幂项
Re s [ f ( z ), ]
1 2 i
L
f ( z ) dz C 1
展式
其中 C 1 为 f ( z ) 在 R z 内的 Laurent

n
Cnz 中 z
n
1
的系数
R es[ f (z ), ] R es[ f (
1
解： 点 : z 0 , z k 奇
2 2
k ( k 1, 2 , ).
2
z 0为 分 子 的 一 级 零 点
又 sin z | z 0 0, (sin z ) | z 0 2 z co s( z ) | z 0 0
((sin z ) ) | z 0 2 co s z 4 z sin z | z 0 2 0
z - s i n z | z 0 0 ,( z - s i n z ) | z 0 1 co s z | z 0 = 0
/
(z-sinz) |z 0 sin z|z 0 sin z|z 0 0 ,(z-sinz) |z 0 1 0
// ///