欣赏数学的真善美

欣赏数学的真善美

张奠宙柴俊

世上万物，以真善美为最高境界。数学自然也有自己的真善美。欣赏数学的真善美，就成为数学教育的一项重要任务。“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别，就在于是否具有“数学欣赏”的内涵。但是，数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏。

欣赏，是教育的一部分。欣赏是需要指导、培育的。语文教学，旨在认识和欣赏人生的真善美；数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。

不过，语文教育和数学教育有一个明显的差别。语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。但是，从小学到大学，数学教育的重点是“做题目”，几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。

那么，怎样欣赏数学的真善美呢?大致有以下途径：

对比分析，体察古今中外的数学理性精神；

提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；

梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；

构作意境，沟通数学思考背后的人文情景。

以下我们用10个案例加以说明。

1 欣赏数学的“真”，震撼于数学之理性精神

爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重?理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”[1]

数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的。严密性是数学的特点。数学教学中重视逻辑推理，崇尚公理化的演绎方法是每一个数学教育工作者的共识。问题在于，既要讲推理，更要讲道理。[2]

如何使得学生能够体会到数学演绎的“真”?许多人认为，数学学好了，题目会做了，思维自然就严密了。数学的“真”，也就在其中了，用不到什么特别的“数学欣赏”。其实不然。形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生有所领悟。

例如，有意识地将古希腊的数学理性和日常思维进行对比分析，会使学生感到震撼。

例1 “对顶角相等”的教学．

欣赏点：这样明显的命题为什么要证明?

这是平面几何开头的第一个定理。定理本身非常直观，无人质疑。如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。

事实上，我们的主题不是“对顶角相等”的知识本身及其如何证明，关键点是要问：“这样明显的命题要不要证明?”中国古代数学没有这样的命题。古希腊数学家提出这样的定理，认为需要证明，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。两相对照，才知道自己的浅薄，古希腊理性精神的伟大。

从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃，可以说震撼了许多孩子们的“灵魂”，可是，现行的教材没有这样写，课堂上教师也没有这样教。数学“欣赏”的这一缺失，当知我们努力之所在了。

例2三角形的内角和为180度．

欣赏点：“数学和物理学的区别”，数学结论的无可争辩性，绝对可靠性。

这也是一个非常基础的几何命题．现在的数学课程和教材，以及无数的公开课教案，都是强调让学生动手剪三个角，分别量，再加起来得到结果；然后分组汇报，最后得到大体上是180度的结论。这样“活动”一番，命题就算成立了。

这样做，背离了数学的“真”。可以说这不是数学，而是物理学。记得科普名作家谈祥伯先生说过这样的故事[3]：他是1947年上海大同中学的毕业生，60年之后，老同学聚会见面，几位研究物理学的“老同学”说，一个物理学定理成立，只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。比如，哥德巴赫猜想是说“一个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和”，虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于10^13的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。

这是两种不同的思维形式。要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。数学地看“三角形内角和为180度”的命题，“量一量”是不算数的。必须从平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。这样的认识，不会自动产生。只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。

总之，我们要欣赏数学的“真”，必须浓墨重彩地解说、对比、分析，不能停留在形式的逻辑推演上。不要像“猪八戒吃人参果，吞到肚里却不知道是什么滋味”。

数学运用符号，具有形式之美。数学因为使用符号，显示其纯粹之真。线性相关和线性无关是学生感到头疼的问题。

例3 线性相关与线性无关的定义．

欣赏点：“用数学符号形式化地定义是熟悉的特征，但是它背后的思想往往是很朴素的．定义(线性相关向量组)：如果向量组a1，a2，…，am。中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关．用符号写出来是：a1，a2，…，am。称为线性相关，是指有m个不全为零的数k1，k2，…，km，使

K1a1+k2a2+．．．+kmam＝0。

如果一位教师直接把定义抄在黑板上，又逐字逐句地解释了一遍，那么学生仍然不知道为什么要有这样的定义。复旦大学的张荫南教授指出，教师只要问：“这n个向量中哪些是必不可少的，哪些是多余的?”这就是线性相关背后的原始朴素思想。还可以更形象地问：“把n个向量比喻作一座房子的‘承重柱’，哪几根是不可少的，哪几根是由其他柱子派生出来并不承重的?”那就更加清楚了。

数学欣赏的语言不在多，画龙点睛地提出问题，把原始的底牌翻开来，数学之“真”，就很容易理解了。当然，最后还要过渡到符号表示的形式。

以下，我们用瞬时速度来理解导数之真。

例4 “飞矢不动”与“瞬时速度”。

欣赏点：“辩证精密思维的典范，微积分思维的人文意境”。

微分学的精髓在于认识函数的局部。如何透过微积分教材的形式化陈述，真正领略微积分的思考本质，是微积分教学的一项重要任务。

把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。古希腊哲学家芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的?”

“那还用说，当然是动的。”

“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?”

“不动的，老师。”

“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?”

“也是不动的，老师”。