24.1.2垂径定理_课件ppt(新人教版九年级上)
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24.垂径定理的应用PPT课件(人教版)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 由题设得
AB 7.2,CD
AB 的中点,CD就是拱高.
2.4, HN 1 MN 1.5.
AD
1
AB
1 7.2
2 3.6,
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④ ②⑤ ③④ ③⑤
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
O
A
B
P
2、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE=1厘米，EB=5厘米，∠BED=30°，
求CD的长。
D
No 在Rt△OEF中，OE=3-1=2，
∠BED=30°则OF=1
B
Image 又在Rt△DOF中
F OE
A C
DF= OD2 OF2 32 12 2 2
∴CD=2DF= 4 2
2、通过作出弦心距后，可构造直角三角形，然 后用直角三角形的边角关系或勾股定理来求解.
B
AD AB 37.4 18.7,
2
2
R
R-7.2
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共21页)1
求证：AC＝BD。
O.
E 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， A C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
3、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解： OE AB
A
AE 1 AB 1 8 4cm
2
2
在Rt △ AOE 中，由勾股
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
在来！你行吗？
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则A1B6= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（不是直径）
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
知二推三
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
2
2
B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴
答：直径CDC的D长=为2O2A6=. 3*在13来=2！你还能行吗？
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
24.1.2垂径定理_课件ppt(新人教版九年级上)
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ
直径垂直于弦=>
=>
直径平分弦
直径平分弧
=>
直径平分弧所对的弦
直径垂直于弧所对的弦
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
B A
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
E
·
O D B
A
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
A
O ┌ E
A
B
600
B
O ø650
D
D
600
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理
A C DB O
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
变式1 如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？
AC O
DB
6．利用新知 解决问题
变式2 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， 求证：AC=BD．
O
AC
DB
五．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合
是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形—
（结合）勾股定理—建立方程．
六．布置作业 教科书P83 第 2 题．P89 第8题
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧.
A
O
E
C
D
B
知二推三
三．新知应用
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
O 图2
AE
B
B
D
图3 A E O B C
A C
E 图4 B
ODBiblioteka 四．利用新知 问题回解1. 赵州桥问题
C
A
D
B
O
2. 如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2 垂直于弦的直径
一．创设情境，
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
二．探究新知
《垂径定理》优秀ppt课件2024新版
判断四边形形状问题
判断平行四边形
利用垂径定理证明四边形两组对 边分别平行，从而判断四边形为
平行四边形。
判断矩形和正方形
在平行四边形基础上，利用垂径定 理证明两组对角相等或邻边相等， 进而判断四边形为矩形或正方形。
判断梯形
通过垂径定理证明四边形一组对边 平行且另一组对边不平行，从而判 断四边形为梯形。
利用垂径定理将方程转化为标准形式 判别式判断根的情况
求解根的具体数值
判断二次函数图像与x轴交点问题
利用垂径定理判断交点个数 确定交点的横坐标
结合图像分析交点性质
解决不等式组解集问题
利用垂径定理确定不 等式组的解集范围
结合图像直观展示解 集
分析解集的端点情况
05
垂径定理拓展与延伸
推广到三维空间中直线与平面关系
《垂径定理》优 秀ppt课件
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
01
垂径定理基本概念与性质
垂径定义及性质
垂径定义
从圆上一点向直径作垂线，垂足 将直径分成的两条线段相等，且 垂线段等于半径与直径之差的平 方根。
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
九年级上数学《24.1.2垂径定理1》课件
5
A
O
4
3
C
P
B
如图，AB为⊙O的一条直径，它把⊙O分成上、 下两个半圆，从上半圆上一点C作弦CD⊥AB, ∠OCD的平分线交⊙O于P，当点C在半圆上（不 包括A、B两点）移动时，点P的位置会发生怎样 的变化？试说明理由？
C
A
E
O
B
D P
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm 的两部分，则圆心O和弦AB的距离为 2 cm. 2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN 和EF之间的距离为14cm或2cm .
3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径 为 5cm .
4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中 点的距离是 10cm和40cm . 5、 ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= 10 3 cm .
垂径定理的应用
小
结
运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦
（4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
人教版数学九年级上册24.1.2垂径定理同步课件(共23张PPT)
弦等于 2 5 c. m
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
B
O
D
P E
C
A
练习
6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。
D
C
E
A
O
B
.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
(2)如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
赵的州弦桥 的是长我）国为隋37代米建，O造拱的高石（拱弧桥的，中距点今到有弦1的4距00离年）的为历7史O. ，是我国古代人民勤劳和智慧的结O晶，它的主桥拱是圆形．它的跨度（弧所对
作业
• 课本90页：8 9
• 不经历风雨，怎么见彩虹 5、已知P为⊙ O内一点，且OP＝2cm，如果
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前 面的结论，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高．
（2）线段：AE=BE
（1）是轴对称图形．直径CD所在
的直线是它的对称轴
C
（2）线段：AE=BE
弧： AC=BC
·O
把圆沿A着D直=径BCDD折叠时，CD两侧的两个半圆
E
重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC、AD A
B
分别与 B、C B重合。
D
D
2.垂径定理的内容是什么?画出适合题意的图形, 用符号语言表示出来. 垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所对的两条弧.
所对的弦的长)为37.
初中九年级数学上册人教版PPT课件下载-24.1.2垂径定理(17张)
解得 R≈27.3（m）.
O
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.3m.
初中九年级数学上册人教版公开课-PP T课件 课件 ：24.1.2垂径定理(共17张PPT课件课 件)
初中九年级数学上册人教版公开课-PP T课件 课件 ：24.1.2垂径定理(共17张PPT课件课 件)
课堂小结
回顾本节课的学习历程， 你有哪些收获（知识、方法）？ 还有什么疑问？
信息交流，揭示规律
条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
.O
垂径定理：
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
A
E
垂直于弦的直径平分弦，
B
D
并且平分弦对的两条弧。
初中九年级数学上册人教版课件：24. 1.2垂 径定理( 共17张 ppt)
垂径定理
C
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧．
4．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。 A E
B
5：已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
求证：AC＝BD。
O.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， A
E C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
问题情境
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国 隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧 的结晶．它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对 的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
1. 知道圆是轴对称图形和它的对称轴； 2. 掌握垂径定理及推论； 3. 会用垂径定理解决简单的证明和计算。 重点：垂径定理的应用
人教版九年级上册垂径定理精品课件PPT
●
6、我就经历 过许 多 大 大 小 小的 挫 折 。 大 海因 为 有 了 狂 风的 袭 击 ， 才 显示 出 了 它 顽 强的 生 命 力 ， 它把 狂 风 化 成 了 朵朵 浪 花 ， 给 人们 带 来 美 丽 ；
感谢观看，欢迎指导！
水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.2 m，求
水面下降的高度 .
O.
A
B
C
D人教版九年级上册24Fra bibliotek1.2 垂径定理课件
●
1、在困境中 时刻 把 握 好 的 机遇 的 才 能 。 我在 想 ， 假 如 这个 打 算 是 我 往履 行 那 结 果 必定 失 败 ， 由 于我 在 作 决 策 以 前会 把 患 上 失 的因 素 斟 酌 患 上太 多 。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
●
4、让学生有 个整 体 感 知 的 过程 。 虽 然 这 节课 只 教 学 做 好事 的 部 分 ， 但是 在 研 读 之 前我 让 学 生 找 出风 娃 娃 做 的 事 情， 进 行 板 书 ，区 分 好 事 和 坏事 ， 这 样 让 学生 能 了 解 课 文大 概 的 资 料 。
●
5、人们都期望 自 我 的 生 活中 能 够 多 一 些快 乐 和 顺 利 ，少 一 些 痛 苦 和挫 折 。 可 是 命运 却 似 乎 总 给人 以 更 多 的 失 落、 痛 苦 和 挫 折。 我 就 经 历 过许 多 大 大 小 小的 挫 折 。
24.1.2+垂径定理+课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
关于弦的问题，常常需要过圆 心作弦的垂线段，这是一条非 常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构 成直角三角形，便将问题转化 为直角三角形的问题。
说出你这节课的收获，让大家与你一 起分享！！！
现在你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
37.4m
7.2m
C
A
D
B
O
解：如图，用AB表示主桥拱，设
的直线
O AE
D
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
叠
合 ∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
法 CD两侧的两个半圆重合，
B
A点和B点重合，
A⌒E和B⌒E重合，A⌒C、A⌒D分别和BC、
BD重合．∴ A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C，
AE＝BE
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
M AEB
O·
N
变式3：如图，在⊙O中， 圆心O到AB的 距离为3cm，EM=2cm，求弦AB的长，
M AEB
O·
N
C
d=r-h 或d=r+h r2=（ 1 a）2+d
2
O
A
B
D
归纳：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 圆心到弦的距离d、弦长a，
弓形高h中，任意知道两个量， 可根据垂径定理求出另两个量：
·O
AE
B
D
你是如何发现这些结论的？ 谁能用语言描述他的发现？
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
·O
AE
B
D
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)
解得r =272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半
人教版初中数学24.1.2 垂直于弦的直径 课件
D
OE CD,
1
1
CF CD 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2 ,
R2 3002 R 902 .
解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.
课堂小结
内容
垂径定理
推论 辅助线
24.1 圆的有关性质/
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③ 平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”
两条辅助线： 连半径，作弦心距
基本图形及 变式图形
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方 程.
课后作业
作业 内容
24.1 圆的有关性质/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
d2
a 2
2
rd O
连接中考
24.1 圆的有关性质/
C
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
基础巩固题
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为
3cm，则此圆的半径为 5cm .
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
课堂检测
24.1 圆的有关性质/
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦
垂足为E．
C
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条
件才能证明
O E A
D
圆是轴对称 图形呢？
B
大胆猜想 是轴对称图形．
探究新知
24.1 圆的有关性质/
证明：连结OA、OB.
C
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
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C D R O
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 赵州桥的主桥拱半径约为
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为 ．如图， 的长为8cm，圆心 中 的长为 ，圆心O 的距离为3cm，求⊙O的半径． 的半径． 到AB的距离为 的距离为 ， 的半径 解：Q OE ⊥ AB 1 1 ∴ AE = AB = × 8 = 4 2 2
（1）是轴对称图形．直径 所在的 ）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE ） 线段： 弧：ＡＣ＝ＢＣ
C
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
和
⌒
⌒
·
E A D
O
把圆沿着直径CD折叠时， 两侧的两个半圆重合 两侧的两个半圆重合， 把圆沿着直径 折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 折叠时
⌒ 与点B重合 重合， 点A与点 重合，AE与BE重合，ＡＣ 与点 重合， 与 重合 ⌒ 和 ⌒ 重合． 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合． ＢＤ重合 重合，ＡＤ
OD=OC－CD=R－7.2 － － 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 △ 中 由勾股定理， OA2=AD2+OD2 A R2=18.72+（R－7.2）2 即 （ － ） 解得： 解得：R≈27．9（m） ． （ ）
， ， 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD = AB = × 37 . 4 = 18 . 7 , 2 2
在Rt △ AOE 中
A E B
O
·
AO 2 = OE 2 + AE 2
AO = OE 2 + AE 2 = 32 +42 =5cm
的半径为5cm. 答：⊙O的半径为 的半径为
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 ．如图， 中 、 为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 两条弦， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ADOE是正方形． 是正方形． 是正方形 证明： 证明： OE ⊥ AC OD ⊥ AB AB ⊥ AC Q
∴∠OEA = 90o ∠EAD = 90o ∠ODA = 90o
1 1 四边形ADOE为矩形，AE = AC，AD = AB 为矩形， ∴四边形 为矩形 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD 四边形ADOE为正方形 为正方形. ∴ 四边形 为正方形
E
·
O
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７ 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 Ｏ，桥下水面宽度为 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于 ，CD=2、4m， ， 交圆弧于C， 、 ， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（ ） 的 现有一艘宽 ，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
说出你这节课的收获和体验，让大家 说出你这节课的收获和体验， 与你一起分享！！！ 与你一起分享！！！
⌒
B
ＢＣ
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 ＣＤ平分弦ＡＢ，
⌒ 平分ＡＢ 平分ＡＢ ⌒
平分ＡＢ 及 即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ＡＣＢ
ＡＣＢ
C
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
⌒
⌒
⌒
·
E
O
B D
垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分 并且平分弦所对的两条弧． 弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧． 所对的两条弧．
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为 ， ⌒ 所在圆的圆心为O， 如图， ＡＢ所在圆的圆心为 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，
A B
半径为R．经过圆心 作弦AB 的垂线 的垂线OC，D为垂足，OC 为垂足， 半径为 ．经过圆心O 作弦 ， 为垂足 相交于点D，根据前面的结论， 的中点， 是 与AB 相交于点 ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点， 就是拱高． ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
四川省广元市剑阁县王河小学： 四川省广元市剑阁县王河小学：李建银
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？ 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 什么结论？
可以发现： 可以发现： 圆是轴对称图形， 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴． 它的对称轴．
活动二
如图， 是 的一条弦， 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径 ，使CD⊥AB，垂足为 ． 的一条弦 做直径CD， ⊥ ，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ ）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ ）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
Ｃ
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
垂径定理： 垂径定理：
Ｄ
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
推论： 推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB, ⊥⌒ Nhomakorabea由 ① CD是直径 是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 赵州桥的主桥拱半径约为
活动三
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为 ．如图， 的长为8cm，圆心 中 的长为 ，圆心O 的距离为3cm，求⊙O的半径． 的半径． 到AB的距离为 的距离为 ， 的半径 解：Q OE ⊥ AB 1 1 ∴ AE = AB = × 8 = 4 2 2
（1）是轴对称图形．直径 所在的 ）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE ） 线段： 弧：ＡＣ＝ＢＣ
C
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
和
⌒
⌒
·
E A D
O
把圆沿着直径CD折叠时， 两侧的两个半圆重合 两侧的两个半圆重合， 把圆沿着直径 折叠时，CD两侧的两个半圆重合， 折叠时
⌒ 与点B重合 重合， 点A与点 重合，AE与BE重合，ＡＣ 与点 重合， 与 重合 ⌒ 和 ⌒ 重合． 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合． ＢＤ重合 重合，ＡＤ
OD=OC－CD=R－7.2 － － 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 △ 中 由勾股定理， OA2=AD2+OD2 A R2=18.72+（R－7.2）2 即 （ － ） 解得： 解得：R≈27．9（m） ． （ ）
， ， 在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD = AB = × 37 . 4 = 18 . 7 , 2 2
在Rt △ AOE 中
A E B
O
·
AO 2 = OE 2 + AE 2
AO = OE 2 + AE 2 = 32 +42 =5cm
的半径为5cm. 答：⊙O的半径为 的半径为
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 ．如图， 中 、 为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 两条弦， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ADOE是正方形． 是正方形． 是正方形 证明： 证明： OE ⊥ AC OD ⊥ AB AB ⊥ AC Q
∴∠OEA = 90o ∠EAD = 90o ∠ODA = 90o
1 1 四边形ADOE为矩形，AE = AC，AD = AB 为矩形， ∴四边形 为矩形 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD 四边形ADOE为正方形 为正方形. ∴ 四边形 为正方形
E
·
O
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７ 某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 Ｏ，桥下水面宽度为 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于 ，CD=2、4m， ， 交圆弧于C， 、 ， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（ ） 的 现有一艘宽 ，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？ 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C M H A E D F B O N
说出你这节课的收获和体验，让大家 说出你这节课的收获和体验， 与你一起分享！！！ 与你一起分享！！！
⌒
B
ＢＣ
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且 ＣＤ平分弦ＡＢ，
⌒ 平分ＡＢ 平分ＡＢ ⌒
平分ＡＢ 及 即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ＡＣＢ
ＡＣＢ
C
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
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垂径定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分 并且平分弦所对的两条弧． 弦，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧． 所对的两条弧．
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为 ， ⌒ 所在圆的圆心为O， 如图， ＡＢ所在圆的圆心为 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，
A B
半径为R．经过圆心 作弦AB 的垂线 的垂线OC，D为垂足，OC 为垂足， 半径为 ．经过圆心O 作弦 ， 为垂足 相交于点D，根据前面的结论， 的中点， 是 与AB 相交于点 ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点， 就是拱高． ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
四川省广元市剑阁县王河小学： 四川省广元市剑阁县王河小学：李建银
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？ 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？ 什么结论？
可以发现： 可以发现： 圆是轴对称图形， 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴． 它的对称轴．
活动二
如图， 是 的一条弦， 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径 ，使CD⊥AB，垂足为 ． 的一条弦 做直径CD， ⊥ ，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ ）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ ）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
Ｃ
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
垂径定理： 垂径定理：
Ｄ
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
推论： 推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB, ⊥⌒ Nhomakorabea由 ① CD是直径 是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧