量子力学3.3一维谐振子

一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
§3.3 一维谐振子
引 言 1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作
用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x k x x 2x 0
dt 2
k
其解为 x Acost 。这种运动称为简谐振动，作这种运
动的粒子称为（线性）谐振子。
• 谐振子哈密顿量：H px2 1 2x2 2 2
W0 (x) 0 (x) 2
e 2x2
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的 正交性关系
e 2 H n ( )H m ( )d 2n n! mn
所以归一化波函数为
n
(
x)
2n
n!
1/ 2
(1)n e 2x2 / 2
dn
d(x)n
e 2x2
最常用的几个态：
n 0， 基态
E0
1 2
，
n 1,
0 (x)
第一激发态
1/ 2 1 2x2
即能级是等间距的。
(2)存在零点能E 0
1 （基态能量）。 2
在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导
致的。
2.波函数n (x) 和几率密度n 2 ：
0
n0
0 2 n0
线
线
x
性 谐
1
n 1
振 子
x
波
函
2
数 n2
x性
1 2
谐 振
当| | 时， ( ) ~ e 2 ,不能满足有界条件。 为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。
可以证明，当 2n 1时可以得出一多项式解
Hn ( )
此时
E
En
(n
1) 2
(n 1)h
2
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
n = 0, 1, 2, …
第二式称作n阶厄米多项式，宇称为(-1)n
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
（此时可略去）。
对方程
d2
d 2
(
)
2
(
)
0
其解显然可以写为
1 2
( ) ~ e 2
因为
'( ) ( ), ''( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
根据束缚态边界条件，有
1 2
( ) ~ e 2
（2）求实际解
利用 ( ) e2 /2H ( ) 有
d e 2 /2 H ( ) e 2 /2 dH
d
d
H
(
)
dH
d
e
2
/2
d2 d 2
H ( ) 2
dH
d
2
H
(
)
d2H
d 2
e
2
/2
代入方程(4)得u( )所满足的方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H ( )
0-------- 3
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
n 1
子
位
x置
概
2 2
率
n2 密
度
x
x
(1) n （ n 0,1,2,... ）有 n 个节点。 (2)宇称为 (1)n ：
因Hn (x) 为 x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 当 n 为偶数时，只存在偶幂次。 所以：n (x) (1)n n (x) ，即宇称为(1)n 。 (3) n 2 有 n 1个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同），分 布关于 y 0 对称。
• 谐振子能量：
E 1 2 A2
2
经典允wk.baidu.com的振动范围
2.量子谐振子
量子力学中的线性谐振子是指在势场 V (x) 1 2x2 中
运动的质量为 的粒子
2
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小 振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射 场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的 研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。
线性谐振子 n=11 时的概率密度分布
2 11
n 11
x
虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短
粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。
当n 时 :
量子概率分布过渡到经典概率分布 符合玻尔对应原理
11(x)2
量子
经典
3、经典禁区
量子： 以基态为例，在x = 0 处概率最大
理想的谐振子是一个无限深势阱，
因为| x | 时，V (x) ， (x) 0为束缚态。
为化简上述方程，方便求解，引进无量纲参数
x, / , 2E /
上述方程可化为
d2
d2
(
)
(
2
)
(
)
0-------------------
2
这是个变系数常微分方程。
(1)先讨论 行为，求渐近解
满足下列递推关系
dHn ( d
)
2nH n1(
)
Hn1( ) 2Hn ( ) 2nHn1( ) 0
Hn ( )是的n次多项式 :
H0 ( ) 1
H
H1
2 (
( )
)
2 4 2
2
1 2x2
归一化波函数为 n (x) Ae 2 Hn (x)
是一个实函数。
其中
A
1/ 2
2n n!
e 2
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
例如双原子分子，两原子间的势 V 是二者相对距离 x 的函
数，如图所示。
H p2 1 kx2
x
2 2
m1m2
m1 m2
在 x a 处，有一极小值 。
在 V0 附近，x a势可以展开
成泰勒级数：
V(x) a
x
0
V (a) V0
V 0
x xa
V0
V (x) V (a) 1 V (x a) 1 2V (x a)2