抽象函数问题

抽象函数问题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．

[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x

与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则1()m

i i

i x y =+=∑( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 答案：B

[思路点拨]

(1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．

(2)易知函数y ＝x ＋1x

关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解．

[方法演示]

法一：利用函数的对称性 由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移

一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x

的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以1()m i i i x y =+=∑∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1

m y i ＝0＋2×m

2＝m ，故选B. 法二：构造特殊函数 由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数，即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ，即f (x )＝x ＋1，显

然该函数满足此条件．此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的交点分别为(1,2)和(－1,0)，所以m ＝2，1

()m i i i x y =+=∑1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B.

[解题师说]

1．解决抽象函数问题的2个常用方法

函数性质法 先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽

象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题。

特殊值法

根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具

体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解。 2．解决抽象函数问题常用的结论

(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b 2

对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )． 特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )；

函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．

(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b .

特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；

函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．

(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；

y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．

(4)对于函数f (x )定义域内任一自变量的值x ：

①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；

②若f (x ＋a )＝1f (x )

，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f (x )

，则T ＝2a ；(a >0) ④若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则T ＝|a －b |；

⑤若f (2a －x )＝f (x )且f (2b －x )＝f (x )(a ≠b )，则T ＝2|b －a |.

[应用体验]

1．已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f (f (x )－2x )＝3，则f (3)的值是( )

A ．3

B ．7

C ．9

D ．12

解析：选C 由题意，知对任意x ∈R ，都有f (f (x )－2x )＝3，不妨令f (x )－2x ＝c ，其中c 是常数，则f (c )＝3，所以f (x )＝2x ＋c .再令x ＝c ，则f (c )＝2c ＋c ＝3，即2c ＋c －3＝0.易得2c 与3－c 至多只有1个交点，即c ＝1. 所以f (x )＝2x ＋1，所以f (3)＝23＋1＝9.

2．已知奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2.给出下列命题：①D ＝[－1,1]；②对∀x ∈D ，|f (x )|≤2；③∃x 0∈D ，使得f (x 0)＝0；④∃x 1∈D ，使得f (x 1)＝1. 其中所有正确命题的个数是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 解析：选A 由奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f (3)＝－3，|f (3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D 中，且x 轴为渐近线时，则不满足③；当y ＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.

3．已知定义域为R 的函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，若x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒大于0

B ．恒小于0

C ．可能等于0

D ．可正可负 解析：选B 法一：由f (－x )＝－f (x ＋4)，得f (－x ＋2)＝－f (x －2＋4)＝－f (x ＋2)，即f (x ＋2)＝－f (－x ＋2)，故函数f (x )的对称中心为M (2,0)．令x ＝－2，得f (2)＝－f (2)，解得f (2)＝0.

又函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．

由(x 1－2)(x 2－2)<0，可得x 1－2与x 2－2异号，即x 1，x 2分布在直线x ＝2

的两侧，不妨设x 1<2|x 2

－2|，由函数的对称性，可知必有f (x 1)＋f (x 2)<0.

法二：由f (－x )＝－f (x ＋4)可知，f (2＋x )＝－f (2－x )，则函数图象关于点

(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2

一、选择题

1．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )

，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为( ) A ．5 B ．－5 C.15 D ．－15

解析：选D ∵函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)

＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数．∵f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)

＝－15. 2．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c