高三第一轮复习函数的基本性质

函数的基本性质之一——单调性

【基本概念】

1.函数单调性

①正向结论：若()

y f x

=

在给定区间上是增函数，则当

12

x x

<时，

12

()()

f x f x

<；当12

x x

>，

12

()()

f x f x

>；

②逆向结论：若()

y f x

=在给定区间上是增函数，则当

12

()()

f x f x

<时，_________；当12

()()

f x f x

>时，_________。

当()

y f x

=在给定区间上是减函数时，也有相应的结论。

2.函数最值的求解

求函数最值的常用方法有单调性与求导法。此处重点讲解二次函数的最值。

求二次函数的最值有两种类型：一是函数定义域为R，可用配方法求出最值；二是函数定义域为某一区间，此时应该考虑对称轴是否在给定的区间内。

3.易混淆点：对单调性和在区间上单调两个概念理解错误

【考点一】单调性的判断与证明

1.下列函数()

f x中，满足“对任意

12

,(0,)

x x∈+∞，当

12

x x

<时，都有

12

()()

f x f x

>”的是（）

A．

1

()

f x

x

= B. 2

()(1)

f x x

=- C. ()x

f x e

= D. ln(1)

y x

=+

2.给定函数①

1

2

y x

=;②1

2

log(1)

y x

=+;③1

y x

=-;④1

2x

y+

=,其中在区间（0,1）上单调

递减的函数的序号是（）

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

3.证明y=[0,)

+∞是增函数

4.证明

4

y x

x

=+在[2,)

+∞是增函数。

【学案编号】数学总复习学案5

【编辑】韩晶飞【审核】马省珍

【主题】函数的基本性质

【考点二】利用单调性求参数与解不等式

3.已知函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨

>⎩.若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为________________

4.已知()f x 为R 上的减函数，则满足1

()(1)f f x

>的实数x 的取值范围是（ ） .(,1)A -∞ B. (1,)+∞ C. (,0)(0,1)-∞⋃ D. (,0)(1,)-∞⋃+∞

5.若函数()f x 的定义域为R,并且在(0,)+∞上是减函数，则下列不等式成立的是（ ） A 23()(1)4

f f a a >-+ B. 2

3()(1)4

f f a a ≥-+ C. 23()(1)4f f a a <-+ D. 23()(1)4f f a a ≤-+ 6.已知函数224,0()4,0

x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B.(1,2) C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞

【考点三】区分单调性和在区间上单调这两个概念

7.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调区间是(,4]-∞，则实数a 的取值范围是_________.

8. 若函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是_______.

【考点四】二次函数的单调性与最值（注意：常常需要分情况讨论）

9.已知函数2()22,[1,1]f x x ax x =-+∈-，求函数()f x 的最小值。

10.设函数2()22,[,1],f x x x x t t t R =-+∈+∈,求函数()f x 的最小值。

11.已知函数22()1266,f x x tx t x R =+-∈其中0t ≠，求()f x 的单调区间。

B 级

11.已知函数21,0()1,0

x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是

_____________.

12.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义。对于给定的正数K ，定义函数

(),()(),()K f x f x K f x K f x K

≤⎧=⎨>⎩。取函数()2x f x -=。当12K =时，函数()K f x 的单调递增区间为（ ）

A.(,0)-∞

B. (0,)+∞

C. (,1)-∞- D (1,)+∞.

13.用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值。设{}

()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

函数的基本性质之二——奇偶性与周期性

【基本概念】

1. 函数奇偶性的判断步骤：

（1） 定义域是否关于原点对称：若定义域不关于原点对称，则函数是__________函数；

若关于原点对称，进行第二步。

（2） 判断()f x -与()f x 的关系：如果()f x -=()f x ，则函数为偶函数；如果

________________，则函数为奇函数；如果()f x -=()f x =()f x -，则函数既是奇函数又是偶函数；

2. 函数的周期性：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 去定义域内的每

一个值时，都有()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期。

【考点一】判别奇偶性