第13讲 习题课 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)

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2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
21
习题课(一.29)
29. 设A,B是非空集族,且AB,证明: (∩A)(∩B)∩(AB).
证明: x, x(∩A)(∩B) x(∩A)x(∩B) y(yAxy)y(yBxy) y((yAxy)(yBxy)) y((yAyB)xy) y((yAB)xy) x∩(AB) x∩(AB), (∩A)(∩B)∩(AB). #
x, x5
#
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《集合论与图论》第13讲
16
作业讲解(#7)
20.(1)证明: b1,b2B, 设b1b2, 要证
f(b1)f(b2). (反证)设f(b1)=f(b2),
g是满射 a1,a2A, g(a1)=b1g(a2)=b2.
f○g(a1)=f(g(a1))=f(b1)=f(b2)=f(g(a2))= f○g(a2) f○g是单射 a1=a2 b1=b2,
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《集合论与图论》第13讲
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习题讲解(#6)
52. 利用哈斯图. 5类19种. 1 + 6 + 6 + 3 + 3 = 19
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《集合论与图论》第13讲
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作业讲解(#7)
p104, 习题三, 11,15,16,19,20 11.(25.) g(b)=f -1({b}) f满射 g(b).
xR2z y(xRyyRz) xRz, R2 ~R, 即R2R=.
() x,y,zA,
(xRyyRz) xR2z xRz , R是反传递的. #
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《集合论与图论》第13讲
28
习题课(二.34)
34. 设R1,R2是非空集合A上的等价关系, 下面给出的关系是否还是A上的等价关系, 为什么?
第13讲 习题课
1. 作业讲解 2. 习题课
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《集合论与图论》第13讲
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习题讲解(#5)
29. r( R )=R{<d,d>,<c,c>} s( R )=R{<b,a>,<d,c>} t( R )=R
a
d
b
c
t( R )=R
2020/6/16
a
d
b
c
r( R )
《集合论与图论》第13讲
矛盾! #
a1
b1
g
f
a2
b2
f(b1)= f(b2)
A
B
C
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《集合论与图论》第13讲
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作业讲解(#7)
20.(2)证明: (反证) 设g非满射, 则bB-ran g, 考虑f(b)C. f○g满射 aA, f○g(a)=f(g(a))=f(b), f单射 g(a)=b bran g, 矛盾! #
(1) R=E{4}E{1,2,3} ={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2> ,
<2,1> ,<2,3> ,<3,2> ,<1,3> ,<3,1>}
(2) 1= { {1},{2,3},{4} }, R1=…, A/R1=1, 2= { {2},{1,3},{4} }, 3= { {3},{1,2},{4} } 4= { {1},{2},{3},{4} }, 5=. #
y=x+ z=y+z=x++x+, (1b)A={x|x是人},RAA, xRyy是x父亲, y是x父亲z是y父亲z是x祖父而非x父亲.
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《集合论与图论》第13讲
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习题课(二.14)
14. x,y,zA, (xRyyRz)xRz, (2)证明: R反传递 R2R=. 证明: (2) () x,zA,
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《集合论与图论》第13讲
6
习题讲解(#6)
47.最长链长度为5, 有4条:
{1,2,6,18,54}, {1,3,6,18,54},
{1,3,9,18,54}, {1,3,9,27,54},
54 18
至少划分为5个不相交的反链: 6
27
{{54},{18,27},{6,9},{2,3},{1}} 2
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《集合论与图论》第13讲
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习题课(一.19)
19. 设A={{A},{A,B}}, 计算 (1)UUA; (2)∩∩A; (3)∩UA( UUA-U∩A). 解: (1) UA={A}{A,B}={A,B};
UUA=U{A,B}=AB (2) ∩A={A}{A,B}={A}; ∩∩A=∩{A}=A; (3) ∩UA=∩{A,B}= AB, U∩A=U{A}=A, 原式=(AB)((AB)-A)=(AB)(B-A)=B.
9 3
至多划分为8个不相交的反链: 1
{{1},{2},{3},{6},{9},{18},{27},{54}}
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《集合论与图论》第13讲
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习题讲解(#6)
50. (1) R自反: xA, yB, xA yB
xR1x yR2y <x,y>R<x,y>
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《集合论与图论》第13讲
(1)~R1; (2)R1-R2; (3)r(R1-R2); (4)R1○R2. 解: 都不是.
(1) (2)非自反; (3)非传递; (4)非对称 (3) (4)反例:
1={{a,b,c},{d}}, 2={{a},{b,c,d}}. #
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《集合论与图论》第13讲
29
习题课(三.1)
习题三.1,3,17,23,24 1. 3.
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《集合论与图论》第13讲
30
习题课(三.17)
17. 设R是A上等价关系,在什么条件下自 然映射f:AA/R有反函数,并求反函数.
解: f:AA/R, f(x)=[x], 显然f是满射, 当f是 单射时, f有反函数.
若xRy, 则f(x)=f(y)=[x]=[y]={x,y,…},
b
a
g
f
f(b)
g(a)
A
B
C
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《集合论与图论》第13讲
18
习题课(一.17)
习题一. 17,18,19,29,补充题 17. 设A={ {}, {{}} }, 计算
(1) P(A); (2)P(UA); (3)UP(A). 解: (1) P(A)={,{{}},{{{}}}, A}; (2) UA={}{{}}= {,{}}, P(UA)= {,{}, {{}}, {,{}}}; (3) UP(A)=U{,{{}},{{{}}},A}=A. #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
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习题课(补充题)
| A1 A2 An |
C1n (n
1)!C
2 n
(n
2)!C
3 n
(n
3)!
(1) n11
n! n! n! (1) n1 n!
2! 3!
(n 1)!
n!(1 1 1 (1) n1 1 )
2! 3!
(n 1)!
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《集合论与图论》第13讲
9
习题讲解(#6)
50. (3) R传递: x1,x2,x3 A, y1,y2 ,y3 B, <x1,y1>R<x2,y2> <x2,y2>R<x1,y1>
<x3,y3>R<x3,y3> x1R1x2 y1R2y2 x2R1x3 y2R2y3 x1R1x3 y1R2y3 <x1,y1>R<x3,y3>. #
ห้องสมุดไป่ตู้
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《集合论与图论》第13讲
19
习题课(一.18)
18. 设B={{1,2},{2,3},{1,3}, {}}, 计算 (1) UB; (2) ∩B; (3)∩UB; (4) U∩B.
解: (1) UB={,1,2,3}; (2) ∩B={1,2}{2,3}{1,3}{}=; (3) ∩UB=∩{,1,2,3}=; (4) U∩B=U=. #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
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习题课(补充题)
补充题: 一条船上有n个水手,每人有一间 自己的舱房, 一次这n个水手喝醉了酒,每 人随便住进一间舱房, 问:至少有一个水 手住进自己舱房,共有多少种情况?
解: E={x|x是一种住宿情况}, |E|=n!. Ak={x|x是第k个水手住进自己舱房的情况}, |Ak|=(n-1)!, |AkAh|=(n-2)!, …... 由容斥原理, 可得:
所以, f是单射的充要条件是xA, [x]={x},
即 R=IA. 此时, f -1:A/RA, f -1([x])=x. #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
31
习题课(三.23)
23. 设f:AA,若存在正整数n使得fn=IA, 则f是双射.
证明: 利用定理3.5,或定理3.10, fn=IA f○fn-1=IA f有右逆 f满射, fn=IA fn-1○f=IA f有左逆 f单射. f是双射. # 说明: 不能用归纳法证.
N/R4 = { {6k+j | kN} | j=0,1,…,5 } #
注意: N/R2 = { {2k}, {2k+1} | kN }是错误 写法!
(2)
N/R2
N/R3
N/R4
N/R1
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
13
作业讲解(#7)
(3) f1(H) = H f2(H) = {0} f3(H) = {0,1,2} f4(H) = {0,2,4} #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
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习题课(二.10)
习题二.10,14,34 10. 设R是非空集合A上的二元关系, 证明:
fld R = UUR 证明: U<x,y>=U{{x},{x,y}}={x,y},
UUR=UU{<x,y>|xRy}=UU{ {{x},{x,y}} |xRy}
a
d
b
c
s( R )
4
习题讲解(#6)
p84, 习题二, 35,39,47,50,52 35. R对称: xRy
xRy xRx (R自反) yRx R传递: xRy yRz yRx yRz (R对称) xRz
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
5
习题讲解(#6)
39. 题目: A={1,2,3,4}, ={ {1,2,3},{4} }.
n
n!(1
1 e
).
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2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
24
习题课(代数)
代数: <,F>, 若FP(),满足
1. F,
2. 若AF, 则~AF,
3. 若A1,A2,…F,
则
A iF,
则称F为上一个代数i 1.
背景: 《概率论》,《测度论》
对“长度”,“面积”,“积分”等概念的推 广.
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
14
作业讲解(#7)
16. g○f:RR, g○f(x)=x2+2, 非单,非满 f○g:RR, g○f(x)=x2+8x+14, 非单,非满
g,h是双射,有反函数, g-1:RR, g-1(x) = x-4, h-1:RR, h-1(x) = 3 x 1 #
b1b2 g(b1)g(b2)= g(b1) g(b2) g(b1)g(b2)
g单射. #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
12
作业讲解(#7)
15. (1) N/R1 = { {n} | nN }
N/R2 = { {2k|kN}, {2k+1|kN} }
N/R3 ={ {3k|kN},{3k+1|kN},{3k+2|kN} }
=U{ {x},{x,y} | xRy }={ x, y | xRy }
={ x | y(xRy) } { y | x(xRy) }
= dom R ran R = fld R. #
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
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习题课(二.14)
14. 设R是非空集合A上的二元关系, 若
x,y,zA, (xRyyRz)xRz, 则说R是反传递的. (1) 举例; (2)证明: R反传递 R2R=. 解: (1) (1a) RNN, xRy y=x+,
8
习题讲解(#6)
50. (2) R反对称: x1,x2A, y1,y2B, <x1,y1>R<x2,y2> <x2,y2>R<x1,y1>
x1R1x2 y1R2y2 x2R1x1 y2R2y1 x1=x2 y1=y2 <x1,y1>=<x2,y2> 注意: 非对称 反对称
xRyyRxx=y xRyxyyRx
2020/6/16
《集合论与图论》第13讲
15
作业讲解(#7)
19. (1) f(A1) = {1,2,3} f -1(B1) = {4,0,5,6}
(2) g(A2) = N g -1(B2) = { 2k+1 | kN } {6}
(3) f是双射, f有反函数
4, x=0
f -1:NN, f -1(x) = x-1, x=1,2,3,4