变化率问题教案

第三章 导数及其应用

3.1.1变化率问题

教师：何永江 三维目标：

知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。

情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；

教学难点：平均变化率的理解与转化

教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。

教学过程设计：

一．创设情境

产生的背景及其作用

【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质.

二．新课讲授 （1）问题提出：

【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。 问题一 气温平均变化率

【学生探索】

问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”

问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。）

问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？

问题5：若函数关系为y=f (x)

, 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？

【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1

212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。 习惯上用1212x x x x x x -=∆-∆，即表示, )()(12x f x f f -=∆

则平均变化率为1

212)()(x x x f x f --x y ∆∆=（说明∆x 是一个整体符号，而不是∆与x 相乘） 【定义理解】1、平均变化率是用来刻画变量变化快慢的量。

2、式子中∆x ，∆y 的值可正、可负，∆x 的值不能为0，∆y 的值可以为0.

3、变式:

x

x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 问题二 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.

思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度），

动手计算：21≤≤t 的平均速度v ，

思考：当时间从t 1增加到t 2时,高台跳水运动员的平

均速度是多少?

学生探究,分析作答

求函数的平均变化率的步骤:

(1)求函数的变化量 (2)计算函数平均变化率： 【例题讲解】

例1.已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平均变化率。

(1) [1，2]， (2) [m ，n]

例2.已知f(x)=x 2,分别求其在下列区间上的平均变化率

(1) [-1，1]， (2) [x 0，x 0+△x]（△x ＞0）

【学生探索】 平均变化率的几何意义？

三、小结归纳和课后探究

１.通过本节课的学习，你学到了那些知识？ ２.你又掌握了哪些学习方法？ ３.课后作业：习题3.1 Ａ组 第1题．（P79）

课后探究：

1.计算运动员在49

650≤

≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 2.观察函数y=f (x),的图象，讨论：当x 1逼近于x 2，即△x 逼近于 0 时，其割线AB

的斜率有什么样的变化趋势？

x x x x x x ∆+=∴-=∆1212, )

()(12x f x f y -=∆1212)()( y x x x f x f x --=∆∆