【高中数学】系数和为定值

直线 l 的方程. 【答案】（1）M(0，1)，N ( 4 ， 1 )；（2） 为定值 3（3） l : y (x 1)
33
【解析】
【分析】
（1）代值联立方程组．解得即可求出，
（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而
x1 x1 1
x2 x2
1
，化简整
理即可证明，
（3）假设存在直线 l：y＝k（x+1）满足题意，则△MNF 的内切圆的半径为 3 2 ，根据韦 7
，同理
x2 x2 m
，
由题意直线 l 的方程为 y=k(x+m) ，代入 x2 y2 1 得 42
2k 2 1 x2 4k 2mx 2k 2m2 4 0 ，由题意
4k 2m 2 4 2k 2 1 2k 2m2 4 8 4k 2 2 k 2m2 0 .
l 交椭圆于 P、Q 两点，与 y 轴交于点 N，且 NP MP, NQ MQ .
求证： 为定值，并求出此定值.s
【解析】
1）设 A 、B 、M 的点的坐标分别为 A x1, y1 ，B x2, y2 ，M 0, y0 ，F 点的坐标为 2,0 ， 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程是 y k x 2 ，
1 2
DF
y1 y2 y1 y2 k x1 x2 .
故
k
x1
x2
12 7
2
，即 k 2
x1
x2 2
4
x1
x2
288 49
.
由(2)，得
k
2
8k 2 4k 2
3
2
4
4k
2
12
4k 2 3
288 49
，
化简，得17k 4 k 2 18 0 ，解得 k 1，
故存在直线 l : y x 1 满足题意．
x1 x2 2 x1 2 x2
2 x1 x2 2x1x2 4 2 x1 x2 x1x2
40k 2 40k 2 10 1 5k 2 1 5k 2
4
40k 2 1 5k 2
20k 2 5 1 5k 2
10 .
【解析】
2）由
NP
MP
得
x1,
y1
yN
x1
m,
y1
，
所以
x1 x1 m
，同理
x2 x2 m
，
由题意直线 l 的方程为 y=k(x+m) ，代入 x2 y2 1 得 42
2k 2 1 x2 4k 2mx 2k 2m2 4 0 ，由题意
4k 2m 2 4 2k 2 1 2k 2m2 4 8 4k 2 2 k 2m2 0 .
达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出 k 的值 【详解】
解：(1)
当
m=k=1
时，联立
x2 2 y
y2 1 x 1
，解之得：
x y
0 1
或
x y
4 3 1 3
，
即 M(0，1)，N ( 4 ， 1 )； 33
(2)
x2
y2
当 m=2 时联立 3 2
1
，消去 y 得：
（1）若直线 l 过点 F2 ，求 F1PQ 的周长；
（2）若直线 l 过点 F2 ，求线段 PQ 的中点 R 的轨迹方程； （3）求证： 为定值，并求出此定值. 【答案】（1） 8 （2） x2 2 y2 2x 0(x 2)
8 （3） 4 m2
【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义，即可求解； （2）设直线 l 方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出相交弦中点的参数方程，消去 参数，即可求出结论；
， MB
2 BF ，得 1
x1 2 x1
， 2
x2 2 x2
，
∴ 1 2
x1 x2 2 x1 2 x2
2 x1 x2 2x1x2 4 2 x1 x2 x1x2
40k 2 40k 2 10 1 5k 2 1 5k 2
4
40k 2 1 5k 2
20k 2 5 1 5k 2
解析几何系列小专题 1： 定值
【典型模型】
1）已知椭圆 x2 y2 1 ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 5
轴于 M 点，若 MA 1 AF ， MB 2 BF .
求证： 1 2 为定值.
2）已知椭圆 x2 y2 1 ，过 M(m, 0) （M 不过椭圆的顶点和中心）且斜率为 k 直线 42
（3） NP MP, NQ MQ 表示成坐标关系，将 , 用 P,Q 坐标表示，直线 l 方程 与椭圆方程联立，消元整理为一元二次方程结合韦达定理，即可证明 为定值.
【详解】
（1）解：由题意椭圆 x2 y2 1 的长轴长 2a=4 . 42
F1PQ 的周长为 F1P | PQ | F1Q F1P F2P F2Q F1Q 4 4 8 .
1 .
从而
x1 x1 1
x2 x2 1
2
1 x1 1
1 x2 1
=
2
x1 x2 2 x1x2 x1 x2
1
=2
6k 2 3k 2
2
2
3k 2 6 6k 2 3k 2 2 3k 2 2
1
2
4 6
2
3
，
为定值 3；
(3) 当 m=3 时，椭圆 ： x2 y2 1 ，假设存在直线 l : y k x 1 满足题意，则△ MNF
MB 2 BF ，求证： 1 2 为定值.
【答案】（Ⅰ） x2 y2 1 ；（Ⅱ）详见解析. 5
【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用短轴长度求得 b 的值，然后由离心率求得 a 的值即可确定椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和向量的坐标运算即可证得题中的结论. 【详解】
(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为
y k x 2
联立
x2 5
y2
1
，消去 y 并整理得
1 5k 2
x2 20k 2 x 20k 2 5 0 ，
∴
x1
x2
20k 2 1 5k 2
，
x1
x2
20k 2 5 1 5k 2
，
又由 MA
1 AF
， MB
2
BF
，得
1
x1 2 x1
， 2
x2 2 x2
，
∴ 1 2
由韦达定理得
x1
x2
4k 2m 2k 2 1
,
x1
x2
2k 2m2 4 2k 2 1
x1 x1 m
x2 x2
m
2
m x1 m
m x2
m
2
m x1 x2 2m x1x2 m x1 x2 m2
2
m
4k 2m 2k 2 1
2m
2k 2m2 4 2k 2 1
m
4k 2m 2k 2 1
显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程是 y k x 2 ，
y k x 2
联立
x2 5
y2
1
，消去 y 并整理得
1 5k 2
x2 20k 2 x 20k 2 5 0 ，
∴
x1
x2
20k 2 1 5k 2
，
x1
x2
20k 2 5 1 5k 2
，
又由 MA
1 AF
1
1 a2
2 5 ,a2 5
5,
∴椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 . 5
(2)方法一：设 A、B、M 点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)．易知 F 点的坐标
为(2,0)．
3k 2 2
x2 6k 2 x 3k 2 6 0 ，
y k x 1
设
M(x1，y1)，N
(x2，y2)，则
x1
x1
x2 x2
6k 2 3k 2
3k 2 6 3k 2 2
2
，
由
EM
DM
，
EN
DN
，且点
E
的横坐标为
0，
得 x1
x1 1 、 x2
x2
（2）由题意直线 l : y k (x 2) .
y k(x 2)
由
x
2
2y2
4
得
1 2k 2
x2 4
2k 2x 4k 2 4 0 ，
由题意 恒成立.设 P x1, y1 ,Q x2, y2 , R(x, y) ，
则
x1
x2
4 1
2k 2 2k 2
，
x
x1 x2 2
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 ，则由题意知 2b
2 ，所以 b
1，
a2 b2 2 5
a2
5
1
1 a2
25 5
，解得 a2 5 ，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ； 5
(Ⅱ)设 A 、B 、M 的点的坐标分别为 A x1, y1 ，B x2, y2 ，M 0, y0 ，F 点的坐标为 2,0 ，
【解析】
【分析】
(1)分析题意可得 b＝1，再根据离心率的表达式和 a,b,c 之间的系数关系可求得标准方程 (2)将直线与椭圆方程进行联立，利用韦达定理，再结合题意即可 【详解】
(1)设椭圆的标准方程为为
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0) ，
由题 b＝1，
a2 b2 2 5 .即
a2
5
由韦达定理得
x1
x2
4k 2m 2k 2 1
,
x1
x2
2k 2m2 4 2k 2 1
x1 x1 m
x2 x2
m
2
m x1 m
m x2
m
2
m x1 x2 2m x1x2 m x1 x2 m2
2
m
4k 2m 2k 2 1
2m
2k 2m2 4 2k 2 1
m
4k 2m 2k 2 1
一个顶点恰好是抛物线 y 1 x2 的焦点，离心率等于 2 5 .
4
5
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点，交 y 轴于 M 点，若 MA 1 AF ,MB 2 BF ，求证 1 2 为定值．
【答案】(1) x2 y2 1 ；(2)证明见解析. 5
【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计 算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题．
3．（2019·黑龙江高三月考（文））已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴长为 2，
离心率等于 2 5 . 5
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于 M 点，若 MA 1 AF ，
43
的内切圆的半径为 3 2 ，又 D 1, 0 、 F 1, 0 为椭圆 的焦点，故△MNF 的周长为 8，
7
从而 SMNF
1 8 3 2
2
7
12 7
2
，
消去 y ，得 4k 2 3 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ，设 M x1, y1 、 N x2, y2 ，
则 SMNF
m
2
2
2k 2m2
m(2m) 4 4k 2m2 m2
2k 2Βιβλιοθήκη Baidu1
2
m(2m) 4 m2
8 4 m2
.
综上可知
为定值
8 4 m2
.
【配套习题】
1．（2018·上海市建平中学高三）已知椭圆
x2 4
y2 2
1 的左右焦点为 F1、
F2
，过 M(m,
0)
（M 不过椭圆的顶点和中心）且斜率为 k 直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，与 y 轴交于点 N，且 NP MP, NQ MQ .
2 2k 2 1 2k 2
,y
k
2 1
2k 2k
2 2
2
2k 1 2k 2
.
即
x
2 1
2k 2k
2 2
,
（k 为参数）.
y
1
2k 2k
2
,
消去 k 得点 R 的轨迹方程为 x2 2 y2 2x 0(x 2) .
（3）由
NP
MP
得
x1,
y1
yN
x1
m,
y1
，
所以
x1 x1 m
x2 m 1
y2 m
1，
过点 D(1, 0) 的直线 l ：
y k(x 1) 与椭圆 交于 M、N 两点（M 点在 N 点的上方），与 y 轴交于点 E.
（1）当 m 1且 k 1时，求点 M、N 的坐标；
（2）当
m
2
时，设
EM
DM
，
EN
DN
，求证：
为定值，并求出该值；
（3）当 m 3 时，点 D 和点 F 关于坐标原点对称，若△MNF 的内切圆面积等于 18 ，求 49
10 .
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、
弦长、斜率、三角形的面积等问题．
4．（2019·宾县第一中学校高二月考（理））已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的
m
2
2
2k 2m2
m(2m) 4 4k 2m2 m2
2k 2 1
2
m(2m) 4 m2
8 4 m2
.
综上可知
为定值
8 4 m2
.
【点睛】
本题考查椭圆的定义，考查求轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的之间的关系以及定值问题，
熟练掌握相交点坐标设而不求的方法，属于较难题.
2．（2020·江苏盐城中学高三月考）已知椭圆 ：