空间解析几何第四讲--平面及其方程

用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 例 2 设平面与 x, y, z 三轴分别交于 P(a,0,0)、 Q(0, b,0)、R(0,0, c)（其中a 0，b 0，c 0），
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2

即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1

n2
1
*
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk

3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
i jk 叉积(向量): a b ax ay az
bx by bz
ax ay az
混合积: a b c ( a b ) c bx by bz
2. 向量关系:
cx cy cz
ab 0
bx by bz ax ay az
axbx ayby azbz 0
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形** • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
例 3 求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为 1 的平面方程.
解 设平面为 x y z 1,
z
a bc
V 1, 1 1 abc 1, 32
o
y
x
由所求平面与已知平面平行得
111 （向量平行的充要条件） a b c ,
616
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
a ,b,c 共面
( ab )c 0
ax ay az bx by bz 0 cx cy cz
第五பைடு நூலகம் 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B , C), 求该平面的方程.
(点到平面的距离公式)
空间一向量在轴上的投影
M

u
oe
M
已知向量 rr , rr OM的终点 M 在轴 u上的投影为 M , 那
么称向为量向O量M´rr称在为轴向u量上rr的在投轴影u,上记的作分P向rjurr量或.设(rrO)uM. er, 则数
向
量a在
直
角
坐
标
系Oxyz中
的
坐
标a
cos
n1 n2 n1 n2
平面的位置关系：**
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
的平面方程为
*
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为
x y z 1 (a ,b,c 0) abc
此式称为平面的截距式方程. **
分析:利用三点式
xa y z a b 0 0
a 0 c 按第一行展开得 (x a)bc y(a)c zab 0
即 bcx acy abz abc
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0 n{4,1,2}, 4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
例9 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n (A, B , C), 在平面上取一点
垂直:
平行: n1 n2 0
A1A2 B1B2 C1C2 0 A1 B1 C1 A2 B2 C2
夹角公式: cos n1 n2
n1 n2
作业
• 习题5: 1，2，3，4，5，6
t 1, 6
a 1, b 6, c 1,
所求平面方程为 6x y 6z 6.
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C 2 0) ②** 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
(1) x 2 y z 1 0, (2) 2x y z 1 0, (3) 2x y z 1 0,
y 3z 1 0 4x 2y 2z 1 0 4x 2y 2z 2 0
解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos
1. 60
(2) n1 {2,1,1}, n2 {4,2,2} 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2 M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
x、a
y、a
就
z
是a在
三 条 坐 标 轴 上 的 投 影 ，即



ax Pr jxa, a y Pr jya, az Pr jza
或记作



ax (a)x , ay (a)y , az (a)z .
向量的投影性质：
(1) (a)u
|
a|
cos
(即
Pr
ju
a
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
|
a
|
cos

),
其
中为
向
量a与
u轴的夹角.(*)
(2)
(
r a)u
(ar )u (即Pr
r ju (a
r b)
Pr
juar Pr
r ju b ).
内容小结
1.平面基本方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
点法式
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0

P1P0 n n
n P0
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
前面内容小结
设 a (ax , ay , az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx , cy , cz )
1. 向量运算
加减: a b (ax bx , ay by , az bz )
数乘: a (ax , ay , az )
点积(数量): a b axbx ayby azbz
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
化简得 2x 3 y z 6 0.
例 8 设平面过原点及点(6,3, 2)，且与平面 4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
zn

M M0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ** ①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
例1 求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
截距式
x y z 1 abc
(abc 0)
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
即
2x y z 0
(C 0)
例 7 求过点(1,1,1)，且垂直于平面 x y z 7和 3 x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解 n1 {1,1,1}, n2 {3,2,12} 取法向量 n n1 n2 {10,15, 5},
例4 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0 代入已知点 (4, 3, 1)得
化简,得所求平面方程
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二下午19:00－20:30 (收发作业） 星期四下午19:00－20:30
答疑地点：J4-105 公共邮箱：linear_algebra2015@163.com 密 码：beihang2015
朱立永
解析几何的主要内容
§1 向量及其线性运算 §2 向量的内积、外积、混合积 §3 曲面及其方程 §4 空间曲线及其方程 §5 平面及其方程 §6 空间直线方程
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2 两平面重合.
例6 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0, 1, 1 ), 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .