江苏省南通中学高二数学上学期期末考试试题

江苏省南通中学2016～2017学年度第一学期期末考试

高二数学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．

置上．．

. 1． 若直线经过(1,0)A 、(0,1)B -两点, 则直线AB 的倾斜角为 ▲ ．

答案：45︒

2． 已知平面//α平面β，若直线l ⊥平面α，则直线l 与平面β的位置关系为 ▲ ．

答案：垂直

3． 函数()e x f x x =⋅，则(1)f '= ▲ ．

答案：2e

4． 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 ▲ ．

答案：x 2

＋(y －2)2

＝1

5． 准线方程为2x =-的抛物线的标准方程是 ▲ ．

答案：28y x =

6． 棱长为1cm 的正方体的外接球表面积为 ▲ 2cm ．

答案:3π

7． 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为

▲ ． 答案:5

8． 已知函数()ln f x x x =+，若函数()f x 在点00(,())P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，

则0x = ▲ ． 答案：

12

9． 如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程

为 ▲ ． 答案：10x y -+=

10．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和圆2

222b x y c ⎛⎫

+=+ ⎪⎝⎭

（其中c 为椭圆的半焦距）， 有四个不同的

交点，则该椭圆离心率的取值范围为 ▲ ． 答案：535⎫

⎪⎪⎝⎭

11．若函数32()1f x x ax =-+在[0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围为 ▲ ．

答案：[3,)+∞

12．若直线10ax by -+=平分圆C ：222410x y x y ++-+=的周长,则ab 的取值范围是 ▲ ．

答案：1,8⎛

⎤-∞ ⎥⎝

⎦

13．定义在(0+)∞，上的单调函数()f x ，对任意

(0+)x ∈∞，，2[()log ]3f f x x -=成立，若方程()()2f x f x '-=的解在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则

k = ▲ ．

答案：1

14．过点(1,3)P 的动直线与抛物线2y x =交于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线分别为1l 、

2l ，若1l 和2l 交于点Q ，则圆22(2)4x y +-=上的点与动点Q 距离的最小值为 ▲ ．

答案：min 52d =

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．

15．已知函数()321

()33

f x x x x a a =-+++∈R ．

（1）求函数()f x 的单调增区间；

（2）若函数()f x 在区间[]4,4-上的最大值为26，求a 的值．

解：（1）因为321()33

f x x x x a =-+++，所以2

()23f x x x '=-++，

令()0f x '>，即2230x x -++>，解得13x -<<， 所以函数()f x 的单调减区间为(1,3)-. （2）由函数在区间[]4,4-内的列表可知：

x －4

(4,1)--

－1 (1,3)-

3 (3,4)

4 ()f x ' － 0 + 0 － ()f x

函数()f x 在(4,1)--和(3,4)上分别是减函数，在(1,3)-上是增函数.

又因为76

(4),(3)93

f a f a -=+=+，所以(4)(3)f f ->， 所以(4)f -是()f x 在[4,4]-上的最大值， 所以76263a +=，即23

a =．

16．如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ，E ，F 分别为PB ，PC 的

中点．

（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB ．

F

E C

B

A

P

17．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点

作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ． （1）若点P 的坐标为(0,0)，求APB ∠；

（2）若点P 的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C 、D 两点，当2CD 时，求直

线CD 的方程；

（3）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若经过，请求出此定点的坐

标；若不经过，请说明理由．

解：（1）因为点P 坐标为(0,0) ，所以2M P =，

又因为1MA MB ==，所以30MPA MPA ∠=∠=︒，故60APB ∠=︒． （2）当直线斜率不存在时，不合题意；

当直线斜率存在时，设直线CD 方程为1(2)y k x -=- 因为2CD =，所以圆心M 到直线CD 的距离为2

2

， 由

2

21221k k --=

+，解得1k =-或17

k =-， 故直线CD 的方程为30x y +-=或790x y +-=． （3）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2

m

Q m +， 因为PA 为圆M 的切线，

所以经过A 、P 、M 三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆，

故其方程为2

222()(1)(1)22

m m

x m y m -+-

-=+- 化简得222(22)0x y y m x y +--+-= 由2

2

20220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或45

25x y ⎧

=⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩

所以经过A 、P 、M 三点的圆经过异于点M 的定点42,55⎛⎫

⎪⎝⎭

．

18．请你设计一个仓库．它的上部是底面圆半径为5m 的圆锥，下部是底面圆半径为5m 的圆

柱，且该仓库的总高度为5m ．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价 分别为4百元/2m ，1百元/2m ，设圆锥母线与底面所成角为θ，且0π 4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，． （1）设该仓库的侧面总造价为y ，写出y 关于θ的函数关系式；

（2）问θ为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度． 解：（1）[]15255(1tan )12542cos y θθ⎡⎤=π⨯⨯-⨯+⨯π⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦2sin 501cos +θθ-⎛⎫=π ⎪⎝⎭，0π 4θ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭，； （2）由2

2sin 1cos 500y θθ-⎛⎫'=π= ⎪⎝⎭得1sin 2θ=，04 θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，， 所以6

θπ

=，列表：

θ

06 π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6π 64 ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

， y '

-

+

（第18题）