古典概型及其概率计算(一) 课件
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(1)求基本事件总数． (2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出2个黑球的概率是多少？
解析：在古典概型下，每一个基本事件出现的概率
均为.因此，要求P(A)关键是求出事件A中所包含的基本 事件的个数m，然后套用公式
P(A)＝事件A包基含本的事基件本的事总件数的n 个数m
求得古典概型的概率． 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的， 所以是古典概型． (1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，基本事件总数为 6. (2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个基本事件．
取到的卡号是 7 的倍数的概率为( A )
A.570 B.1700 C.478 D.11050
3．下列概率模型中，有几个是古典概型( A )
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到 1 的概率； ②从 1～10 中任意取出一个整数，求取到 1 的概率；
③向一个正方形 ABCD 内投一点 P，求 P 刚好与点 A 重合的
矩形1
矩形2
矩形3
(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．
解析：如下图所示，本题的基本事件共有 27 个．
(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A，由图知，事件 A 的基
本事件有 1×3＝3 个．
故 P(A)＝237＝19.
(2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B，由图可知，事件 B 的基本事 件为 2×3＝6 个．故 P(B)＝267＝92.
1 9.
(3)事件 B＝“出现 2 个 4 点”只有一种情形(4,4)，故 P(B)
1 ＝36.
(4)事件 C＝“向上的点数都是奇数”包括以下 9 种情形
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，
即 P(C)＝396＝14.
点评：单独看本题不简单，但通过形象、直观地表格
(3)基本事件总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基 本事件数 m＝3，故 P＝12.
点评：1.求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有：(1)不能或不必分解为更小的随机事 件；(2)不同的基本事件不可能同时发生．
因此，求基本事件时，一定要从可能性入手，对照 基本事件的含义及特征进行思考，并将所有可能的基本事 件一一列举出来．
故所求概率 P＝166＝38.
3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为8. (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1－2,2－1,2－ 4,3－3,4－2，共 5 种．
故所求概率为 P＝156.
∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为156. 方法二 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球，其数字分别为
4．掌握古典概型的概率计算公式：
P(A)＝A包总含的的基基本本事事件件个个数数.
1 例如：掷一骰子正面向上点数是 3 的倍数的概率是 ___3_____．
自测自评
1．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两
本，则抽出一本外文书的概率为( D )
1
3
A.5
B.10
2
1
C.5
D.2
2．有 100 张卡片(从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，
x，y，用(x，y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 种．
(1) 所 取 两 个 小 球 上 的 数 字 为 相 邻 整 数 的 结 果 有 (1,2) ， (2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共 6 种．
解析：利用方程思想求解． 从袋中任取一球，记事件“取得红球”，“取得黑球”，“取得
黄球”，“取得绿球”为 A，B，C，D，则有
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝152，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝152，P(B∪C∪D)
＝1－P(A)＝32，∴P(B)＝14，P(C)＝61，P(D)＝14.
题型三 用列表法表示基本事件求概率
所包含基本事件和事件总数，然后代入公式求解． 2．含有“至多”，“至少”等类型的概率问题，从正面突
破较困难，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性
质 P(A)＝1－P(－A )进一步求解． 3．互斥事件加法公式 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)．
2．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 球．从中任取一球、得到红球的概率是13，得到黑球或黄球 的概率是152，得到黄球或绿球的概率也是152，试求得到黑 球，得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
例3 抛掷两颗骰子： (1)一共有多少种不同结果？ (2)向上的点数之和是5的结果有多少种？概率是多少？ (3)求出现两个4点的概率． (4)求向上的点数都是奇数的概率．
解析：(1)我们列表如下，可以看出掷第一颗骰子的结 果有6种，第二颗骰子都有6个不同结果．如第一颗掷得2点 时，与第二颗配对有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， 6个不同结果，因此两颗骰子配对共有6×6＝36种不同结果， 每个结果都是等可能的.
2．对于较复杂问题中基本事件数的求解还可应用列 表或树形图．
1．在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些
球除颜色外完全相同．从中摸出2个球，至少摸到1个 黑球的概率是___1_70____．
题型二 利用事件的运算关系求概率
例2 假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把， 只好逐把试开，现在我们来研究一下：
事件 B2 是第二次把房门打开，其概率 P(B2)＝15；事件 B3 是第 三次把房门打开，其概率 P(B3)＝15.因为事件 B1，B2，B3 彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式
P(A2)＝P(B1∪B2∪B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝35. 点评：1.本题关键是通过分析得出公式中的 m、n，即某事件
3．古典概型的两个特征．
(1)试验中所有可能出现的基本事件_只__有__有__限_；个
(2)各基本事件的出现是_等__可__能__的_，即它们发生的概 率相同．
我们把具有这两个特征的概率模型称为 __古__典__概__率__模__型____，简称古典概型．
注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问 题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看 待．
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(2)设“向上的点数之和是 5”＝A，由 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2 ＝4＋1，故共有 4 种(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，则 P(A)＝346＝
将16种结果列举出来后问题就简单了，列举时常用的还有坐
标轴等，另外不借助图表直接列举时，必须按某一顺序做到
不重复、不遗漏．
3．任意说出星期一到星期日中的两天(不重复)，其中恰
有一天是星期六的概率为( B )
A.17
B.27
C.419
D.429
题型四 用树形图表示基本事件求概率 例4 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4
概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各
册自左到右或自右到左恰好为第 1,2,3 册的概率为( B )
A.16 B.13 C.12 D.23
题型一 列举基本事件求概率
例1 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有 不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大？
(2)此人三次内打开房门的概率是多少？
解析：(1)记“恰好第三次打开房门”为事件 A1,5 把钥匙的排列 是随机的，因此哪一次打开房门的概率均相等，故 P(A1)＝15.
(2)记“三次内打开房门”为事件 A2，它可以分解成三个子事件 B1， B2，B3，其中事件 B1 是第一次就把房门打开，其概率 P(B1)＝51；
第二颗
1
第一颗
1
(1,1)
2
(2,1)
3
(3,1)
4
(4,1)
5
(5,1)
6
(6,1)
2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
wk.baidu.com
4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小 球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
解析：方法一 利用树状图可以列出从甲、乙两 个盒子中各取出1个球的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果数为 16 种． (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1－2,2－1,2－ 3,3－2,3－4,4－3，共 6 种．
古典概型及其概率计算(一)
基础梳理
1．基本事件(要正确区分事件和基本事件)． 一个事件如果不能再被分解为_两__个__或__两__个__以__上__的事件， 称作_____基__本_．事件
2．基本事件的两个特点． (1)任何两个基本事件是__互__斥__的__．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件_．的和 例如：投掷一枚硬币的事件_“_正__面__向__上__”__与__“__反__面__向__上_” 是这个实验的二个基本事件．
故所求概率 P＝166＝38.
3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为8.
(2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有(1,2)，(2,1)， (2,4)，(3,3)，(4,2)，共 5 种．
故所求概率为 P＝156.
∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为156.
4．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色．每 个矩形只涂一种颜色，求：
解析：在古典概型下，每一个基本事件出现的概率
均为.因此，要求P(A)关键是求出事件A中所包含的基本 事件的个数m，然后套用公式
P(A)＝事件A包基含本的事基件本的事总件数的n 个数m
求得古典概型的概率． 由于 4 个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的， 所以是古典概型． (1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，基本事件总数为 6. (2)事件“摸出 2 个黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 2，黑 3)，(黑 1，黑 3)}，共 3 个基本事件．
取到的卡号是 7 的倍数的概率为( A )
A.570 B.1700 C.478 D.11050
3．下列概率模型中，有几个是古典概型( A )
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到 1 的概率； ②从 1～10 中任意取出一个整数，求取到 1 的概率；
③向一个正方形 ABCD 内投一点 P，求 P 刚好与点 A 重合的
矩形1
矩形2
矩形3
(1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．
解析：如下图所示，本题的基本事件共有 27 个．
(1)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A，由图知，事件 A 的基
本事件有 1×3＝3 个．
故 P(A)＝237＝19.
(2)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B，由图可知，事件 B 的基本事 件为 2×3＝6 个．故 P(B)＝267＝92.
1 9.
(3)事件 B＝“出现 2 个 4 点”只有一种情形(4,4)，故 P(B)
1 ＝36.
(4)事件 C＝“向上的点数都是奇数”包括以下 9 种情形
(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，
即 P(C)＝396＝14.
点评：单独看本题不简单，但通过形象、直观地表格
(3)基本事件总数 n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基 本事件数 m＝3，故 P＝12.
点评：1.求基本事件的基本方法是列举法．
基本事件具有：(1)不能或不必分解为更小的随机事 件；(2)不同的基本事件不可能同时发生．
因此，求基本事件时，一定要从可能性入手，对照 基本事件的含义及特征进行思考，并将所有可能的基本事 件一一列举出来．
故所求概率 P＝166＝38.
3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为8. (2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1－2,2－1,2－ 4,3－3,4－2，共 5 种．
故所求概率为 P＝156.
∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为156. 方法二 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球，其数字分别为
4．掌握古典概型的概率计算公式：
P(A)＝A包总含的的基基本本事事件件个个数数.
1 例如：掷一骰子正面向上点数是 3 的倍数的概率是 ___3_____．
自测自评
1．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两
本，则抽出一本外文书的概率为( D )
1
3
A.5
B.10
2
1
C.5
D.2
2．有 100 张卡片(从 1 号到 100 号)，从中任取 1 张，
x，y，用(x，y)表示抽取结果，则所有可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，
(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 种．
(1) 所 取 两 个 小 球 上 的 数 字 为 相 邻 整 数 的 结 果 有 (1,2) ， (2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共 6 种．
解析：利用方程思想求解． 从袋中任取一球，记事件“取得红球”，“取得黑球”，“取得
黄球”，“取得绿球”为 A，B，C，D，则有
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝152，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝152，P(B∪C∪D)
＝1－P(A)＝32，∴P(B)＝14，P(C)＝61，P(D)＝14.
题型三 用列表法表示基本事件求概率
所包含基本事件和事件总数，然后代入公式求解． 2．含有“至多”，“至少”等类型的概率问题，从正面突
破较困难，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性
质 P(A)＝1－P(－A )进一步求解． 3．互斥事件加法公式 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)．
2．袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿 球．从中任取一球、得到红球的概率是13，得到黑球或黄球 的概率是152，得到黄球或绿球的概率也是152，试求得到黑 球，得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
例3 抛掷两颗骰子： (1)一共有多少种不同结果？ (2)向上的点数之和是5的结果有多少种？概率是多少？ (3)求出现两个4点的概率． (4)求向上的点数都是奇数的概率．
解析：(1)我们列表如下，可以看出掷第一颗骰子的结 果有6种，第二颗骰子都有6个不同结果．如第一颗掷得2点 时，与第二颗配对有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， 6个不同结果，因此两颗骰子配对共有6×6＝36种不同结果， 每个结果都是等可能的.
2．对于较复杂问题中基本事件数的求解还可应用列 表或树形图．
1．在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些
球除颜色外完全相同．从中摸出2个球，至少摸到1个 黑球的概率是___1_70____．
题型二 利用事件的运算关系求概率
例2 假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把， 只好逐把试开，现在我们来研究一下：
事件 B2 是第二次把房门打开，其概率 P(B2)＝15；事件 B3 是第 三次把房门打开，其概率 P(B3)＝15.因为事件 B1，B2，B3 彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式
P(A2)＝P(B1∪B2∪B3)＝P(B1)＋P(B2)＋P(B3)＝35. 点评：1.本题关键是通过分析得出公式中的 m、n，即某事件
3．古典概型的两个特征．
(1)试验中所有可能出现的基本事件_只__有__有__限_；个
(2)各基本事件的出现是_等__可__能__的_，即它们发生的概 率相同．
我们把具有这两个特征的概率模型称为 __古__典__概__率__模__型____，简称古典概型．
注意：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问 题符合或近似符合这两个条件，可以作为古典概型来看 待．
5
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(2)设“向上的点数之和是 5”＝A，由 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2 ＝4＋1，故共有 4 种(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，则 P(A)＝346＝
将16种结果列举出来后问题就简单了，列举时常用的还有坐
标轴等，另外不借助图表直接列举时，必须按某一顺序做到
不重复、不遗漏．
3．任意说出星期一到星期日中的两天(不重复)，其中恰
有一天是星期六的概率为( B )
A.17
B.27
C.419
D.429
题型四 用树形图表示基本事件求概率 例4 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4
概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各
册自左到右或自右到左恰好为第 1,2,3 册的概率为( B )
A.16 B.13 C.12 D.23
题型一 列举基本事件求概率
例1 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有 不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．
(1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大？
(2)此人三次内打开房门的概率是多少？
解析：(1)记“恰好第三次打开房门”为事件 A1,5 把钥匙的排列 是随机的，因此哪一次打开房门的概率均相等，故 P(A1)＝15.
(2)记“三次内打开房门”为事件 A2，它可以分解成三个子事件 B1， B2，B3，其中事件 B1 是第一次就把房门打开，其概率 P(B1)＝51；
第二颗
1
第一颗
1
(1,1)
2
(2,1)
3
(3,1)
4
(4,1)
5
(5,1)
6
(6,1)
2
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
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4
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小 球被取出的可能性相等．
(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
解析：方法一 利用树状图可以列出从甲、乙两 个盒子中各取出1个球的所有可能结果：
可以看出，试验的所有可能结果数为 16 种． (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1－2,2－1,2－ 3,3－2,3－4,4－3，共 6 种．
古典概型及其概率计算(一)
基础梳理
1．基本事件(要正确区分事件和基本事件)． 一个事件如果不能再被分解为_两__个__或__两__个__以__上__的事件， 称作_____基__本_．事件
2．基本事件的两个特点． (1)任何两个基本事件是__互__斥__的__．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_基__本__事__件_．的和 例如：投掷一枚硬币的事件_“_正__面__向__上__”__与__“__反__面__向__上_” 是这个实验的二个基本事件．
故所求概率 P＝166＝38.
3 ∴取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为8.
(2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有(1,2)，(2,1)， (2,4)，(3,3)，(4,2)，共 5 种．
故所求概率为 P＝156.
∴取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为156.
4．用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色．每 个矩形只涂一种颜色，求：