任意角和弧度制ppt课件

1 rad 180 57.30 5718'
注：rad今后可以省略不写
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用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R 之间建立一一对应的关系：
正角 零角 负角
正实数
零
负实数
角的集合
弧度的集合（实数集R）
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请运用转换公式，填写下表：
度
0°
-30° 45 ° 60° -135°
长度是不同的，但都对应同一个 圆心角，探索弧长与其半径之比 有什么关系?
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3．弧度
设α=nº,AB弧长为l，半径OA
为r，ln2r,l n 2
360 r
360
则可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
对于同一圆心 AB角 A， B r r
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例1：写出终边落在y轴上的角的集合。
解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+1800 的偶数倍}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z} ={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z}
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1 的角是周角的
1
用1º角作单位来度量3角6 的0 制度叫做角度制
但角的度量单位如同长度，面积，体积等有不同单位一样，也由于数 据大，书写不便等有引入不同单位的需要。
根据角的动态定义：角是由射线绕 它的端点旋转而成的，在旋转的过程中 射线上的点必然形成一条圆弧。
思考：不同的点所形成的圆弧的
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合作探究练习1： 用角度和弧度分别表示:
1. 终边在x轴上的角的集合
2. 终边在坐标轴上的角的集合
3. 终边在第一象限角的集合
4. 终边在y=x直线上的角的集合
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
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用旋转定义的任意角，需要注意三个要素：旋 角 转中心、旋转方向和旋转量 （当旋转超过一周 时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于 360º。于是就有720º， － 540º，第一象限的 角也已经超越原来锐角的范畴.）
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3．终边相同的角
⑴ 观察：330 ，750角，它们的终边与30角的终边有 何关系？ ⑵探究：与30 终边相同的角（含30 角本身）集合用描述法如 何表示？
90° 120°
-150°
150° 30′
270°
弧度
0
6
4
3
3
4
2
2 3
5 6ห้องสมุดไป่ตู้
301 3 360 2
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3．弧度
l
r
弧长r
S扇形 12r12r2
对比记忆：初中弧长和面积公式：
弧长 3n602r1n8r 0S扇形 1 2r3n60 r2
思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已知几
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
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所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
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2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
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思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
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1.任意角:含任意大小的正角，负角，零角。 类比初中数的扩展学习，我们可以把这种运动形 成的角推广到任意角。为了方便规定： 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 没有作任何旋转形成的角叫做零角
A（B） O
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在初中我们研究了锐角三角函数，为了研究任意 角的三角函数，用角和长度定位点，实现几何问 题代数化。我们常在直角坐标系内讨论角。把角
个量,才能求出另外的量呢？
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例2. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆
的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？ 扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合 360( 1)度
扇形面积是 ( 1)R2
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330=30+(1)×360 (k=－1) , 30=30+0×360 (k=0), 750=30+2×360(k=2)
(3)结论： 3 0 k 3 , 6 k Z 0
与 终边相同的角（含 本身）集合用描述法又
将如何表示？ k 3 ,6 k Z 0
思考：从终边相同的角集合表示中可以悟出什么？
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3．弧度
弧长等于半径长（l=r)的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的
角，弧度记作rad.角 的弧度数的绝对值规定等于 l .
的正负由 的终边的旋转方向决定。
r
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
l
r
∵ 360= l 2r2(ra，d) ∴ 180= rad，
r r
∴ 1= rad0.01745rad 180
人教A版必修四第一章 三角函数1.1任意角和弧度制
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1
知识回顾:
同学们,我们回顾一下学过的这些角:
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2
知识回顾:
角的定义1: 平面内从一个点 出发引出的两条射线构成的几 何图形.
这种静态定义是从图形 形状来定义角，因此角的范围 是[0º, 360º]
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3
同学们现实生活中确定有存在不在学过范围的角