二阶电路的动态响应实验报告

二阶电路的动态响应实验报告

一、实验目的：

1. 学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。

2. 研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。

3. 研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。

4. 研究RLC 串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。

二、实验原理：

图1.1 RLC 串联二阶电路

用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。图1.1所示的线性RLC 串联电路是一个典型的二阶电路。可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：

s 2

U 2=++c c c u dt du RC dt

u d LC （1-1） 初始值为

C

I C i dt

t du U u L t c c 0

00

)0()()0(==

=-=--

求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c (t )。

再根据：dt

du c

t i c

c =)( 可求得i c (t )，即回路电流i L (t )。

式（1-1）的特征方程为：01p p 2

=++RC LC 特征值为：2

0222,11)2(2p ωαα-±-=-±-

=LC

L R L R (1-2)

定义：衰减系数（阻尼系数）L

R 2=

α 自由振荡角频率（固有频率）LC

1

0=

ω 由式1-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。

1． 零输入响应

动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。 电路如图1.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。

图1.2 RLC 串联零输入电路

(1) C

L

R 2

>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。 电路响应为：

)

()

()()

()(2

1

2

1

120

121

20

t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=

--=

图1.3 RLC 串联零输入瞬态分析

响应曲线如图1.3所示。可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的

过渡过程。整个放电过程中电流为正值， 且当2

11

2ln P P P P t m -=时，电流有极大值。

（2）C

L

R 2

=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。 电路响应为

t

t c te L

U

t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0

响应曲线如图1.3所示。

(3) C

L

R 2

<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。 电路响应为

t e L

U t i t e U t u d t

d d t d

C ωωβωωωααsin )(),sin()(000

--=

+==t ≥0

其中衰减振荡角频率 2

2

2

0d 2L R LC 1⎪⎭⎫

⎝⎛-=

-=αωω ， α

ωβd arctan = 响应曲线如图1.3所示。

图1.3 二阶电路零输入响应

（4）当R ＝０时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。

电路响应为

t L

U t i t U t u C 000

00sin )(cos )(ωωω=

= 响应曲线如图1.6所示。理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω，

注：在无源网络中，由于有导线、电感的直流电阻和电容器的介质损耗存在，R 不可能为零,故实验中不可能出现等幅振荡。 2． 零状态响应

动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。

过阻尼 临界阻尼 欠阻尼

电路如图1.4所示，设电容已经放电，其电压为0V ，电感的初始电流为0。

图1.4 RLC 串联零状态电路

根据方程1-1，电路零状态响应的表达式为：

)

()()t ()t (212112121

2t p t p S

t p t p S

S C e e p p L U i e p e p p p U U u ---=---

=）（0t ≥

与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。

响应曲线如图1.5所示。

图1.5 二阶电路零状态响应

3． 全响应

动态电路的初始储能不为零，和外施激励一起引起的电路响应，称为全响应。 电路如图1.6所示，设电容已经充电，其电压为5V ，电压源电压10V 。

欠阻尼 临界阻尼 过阻尼

图1.6 RLC 串联全响应电路

响应曲线如图1.7所示。

图1.7 二阶电路全响应

4．状态轨迹

对于图1.1所示电路，也可以用两个一阶方程的联立（即状态方程）来求解：

L U L t Ri L t u dt

t di C

t i dt t du s

L C L L c ---==)()()

()

()( 初始值为

00

)0()0(I i U u L c ==--

其中，)(t u c 和)(t i L 为状态变量，对于所有t ≥0的不同时刻，由状态变量在状态平面上所确定的点的集合，就叫做状态轨迹。

三、实验设备与器件

1. 低频信号发生器

2. 交流毫伏表

3. 双踪示波器

4.

万用表

欠阻尼

临界阻尼

过阻尼