质点组动力学

dri dt
18
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
所以得到惯性系下任意参考点的质点组的动量矩定理：
ex d n ri Fi ri mi ri dt i 1 i 1
n


ex 或 M M
dJ dt
(m r )
i 1 i il
n
m
i 1
n
例： x
(m x )
i 1 i i
n
i
m
i 1
n
z ，
(m z )
i 1 i i
n
i
m
i 1
n
i
8
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
rdm 当质点无限靠近，成为连续质点组，则有： r c dm rdV 若质点组密度均匀，则有： rc dV
力矩冲量定理：
ex Mdt M dt dJ
t t ex J J 0 Mdt M dt
0 0
Ml dt Ml dt dJl
ex
J l J l 0 M l dt M l ex dt
t t 0 0
n 2
5
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
n d ri (mi 2 ) Fi ( e ) 质点组中的内力和为0，故有： dt i 1 i 1 2 n n d (e) Fi 2 (mi ri ) 即 dt i 1 i 1
n 2
考虑到力可以写成牛顿第二定律的形式，对质点组而言有：
i 1 i 1
（i） 质量守恒，即闭合系 （ii） 速度前后要在同一参考系 （iii）速度具有瞬时性 如：课后习题2.3
13
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
当 Fl 0 时， P C l 质点组受到的合外力不为0时，但质点组在某个 方向上受到的合外力为0, 则此方向上动量守恒 若仅关注质点组局部动量，且此时受到的合外力 远远小于内力时，可忽略外力对局部动量的影响
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质心 对于质点组中的每一个质点有：
(i ) d ri (e) mi 2 Fi Fi dt
2
(i 1, 2,..., n)
上标i和e，分别取自英文interior和exterior的首字母 对质点组中的n个质点方程求和有：
n n d ri (mi 2 ) Fi ( e ) Fi (i ) dt i1 i 1 i 1
20
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的动量矩守恒
ex 显然，当 M M 0 时，J C
质点组受到的合外力矩为0时，质点组总动量矩守恒
n 把守恒式改写成初末状态，即： ri 0 mi vi 0 ri mi vi C n i 1 i 1
可以认为质点组的总动量近似守恒
14
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
例
一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为m，炮身及
炮车质量和等于M，炮车可以自由地在铁轨上 反冲。如炮身与地面成一角度θ，炮弹对炮身 的相对速度为V，试求炮弹离炮身时对地面的 速度v及炮车反冲的速度U 解： 沿水平方向无外力作用，动量守恒
0.5
V sin m tan 1 M vx V cos M mM vy
炮车反冲，有：v V ,
tan
16
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的力矩
质点力矩 M r F 的效果是使质点产生转动 n n ex n in 质点组的力矩 M ri Fi ri Fi ri Fi i 1 i 1 i 1 n in 1 n in n in 因 ri Fi ri Fi rj Fj 2 i 1 i 1 j 1 in 1 n n ri rj Fi 0 2 i 1 j 1 n ex ex 所以质点组的力矩为：M ri Fi M （转动） i 1


17
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的动量矩定理
ex in 质点组中任意质点的动力学方程为：F F m i i i ex in dri 方程两左叉乘位矢得： ri Fi ri Fi ri mi dt
i 1
6
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
位置矢量 rc
(mi ri )
n i 1
m
i 1
n
的矢端处的几何点C，
i
称为质点组的质量中心，简称质心 质心是反映质点组整体运动的特征点 取质心为原点的坐标系称质心坐标系，简称质心系 在相对论中，因质量随时间而变化，质心失去意义 2 n n d r mi 2 Fi ( e ) 质心运动定理 dt C i1 i 1

i 1 j 1
n
n
fij 0
3
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
内力和外力是相对的，具体看所划定的“范围” 如图质点组，就不同范围划分 讨论质点
1
2 1
和质点
3
4
3
所受到的内力和外力
孤立系或闭合系在力学中指质点组不受任何外力作用。 显然闭合系的前提是质点组不变，即质量不变（守恒）
4
n i 1 n ri ' (mi ) mi ri ' 0 rC rC 所以有 n i 1 i 1

质心系下，质点组的惯性力的力矩为0 (ex) (in) 又 Fi Fi Fi ，由前面推导知：
7
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质心位矢是质量作为权重的平均
m r m2 rc 2 质心位矢满足线性叠加原理 rc 1 c1 m1 m2 n (mi ri ) i 1 质心位矢是矢量，满足 rc el n el mi
i 1
方向质心： rCl
遍历所有质点，求和得：
n n ) r ' m r ' ri ' Fi ri ' (mi rC i i i n i 1 i 1 i 1
23
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
在质心系下， mi ri ' 0
遍历所有质点，求和得：
n
dri dt
ex n in n ri Fi ri Fi ri mi i 1 i 1 i 1 n n in m r 0 又 ri Fi 0 ， ri i i i 1 i 1
第二章
质点组力学
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
2
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的内力和外力 质点组由许多(有限或无限)相互连系着的质点所组成的系统
外力指质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力
内力指质点组中质点间相互作用的力 对于机械力而言，质点组的内力满足牛顿第三定律
所以 fij f ji ，
（i） 质量守恒，即闭合系 （ii） 位矢、速度前后要在同一参考系 （iii）速度具有瞬时性
21
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
当 M l 0 时，J l C 质点组受到的合外力矩不为0时，但质点组在某个 方向上受到的合外力矩为0, 则此方向上动量矩守恒 若仅关注质点组局部动量矩，且此时受到的合外力矩 远远小于内力矩时，可忽略外力矩对局部动量矩的影响
可以认为质点组的总动量矩近似守恒
22
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组在质心系下的动量矩定理 质心系不一定是惯性系，所以可能存在惯性力(取0为惯性系)
) m ' 在质点组中任取一个质点 mi ，则 Fi (mi rC ir i ) r ' m r ' 方程两左叉乘位矢得： ri ' Fi ri ' (mi rC i i i
从推导过程可以看出，内力矩不改变系统的总动量矩 但内力矩却可以改变系统的局部动量矩 惯性系下任意方向质点组的动量矩定理：
ex el M el M
d el J


或 Ml Ml
ex
dt
dJ l dt
19
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
n
即质点组方向动量定理： Fl
dPl dt
12
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的动量守恒
n ( ex ) 显然，当 Fi 0 时， pi P C n i 1 i 1
质点组受到的合外力为0时，质点组总动量守恒 n n 把守恒式改写成初末状态，即： mi vi 0 mi vi C
i 1
10
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的动量定理
回顾质点的动量定理及守恒知识 dp 质点的动量定理 F (ex ) dt Fi 在质点组中任取一个质点 mi ，则 Fi (in) Fi ( ex ) ( in ) dpi 对质点 mi 有：Fi Fi dt 欲研究质点组，考虑到内力和为0 ， n n d dP ( ex ) 故取遍所有质点后求和 Fi pi dt i 1 dt i 1
n 2 ( mi ri ) n n d i 1 Fi ( e ) mi 2 n dt i 1 mi i 1 质心 i 1 n (mi ri ) i 1 若令位置矢量 rc n ，上式正好是质点的牛二的形式 mi
11
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
( ex ) 质点组动量定理： Fi
n i 1
d dP pi dt i 1 dt
n
从推导过程可以看出，内力不改变系统的总动量 但内力却可以改变系统的局部动量
( ex ) d n dP 同样在某个方向上有： el Fi el pi el dt i 1 dt i 1
若取质心系，则有： ri rc ri '
n n n n n 又 rc mi mi ri (mi rc mi ri ') mi rc mi ri ' i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
即 mi ri ' 0 ，对时间求导又有：
n i 1
mi ri ' 0
n i 1
9
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
质点组的动量
n 由质心定义有： mi ri rc mi
n i 1 i 1
n 两边对时间求导有： mi ri rc mi
n i 1 i 1
n 所以质点组的动量： P pi pC
mvx MU 0 （速度要求在同一参考系） vx V cos U vy V sin
15
wk.baidu.com
理论力学
第二章 质点组力学
许杰制作
M V cos 解得： vx mM m U V cos mM
v vx v y
2
2
m 2M m 2 V 1 cos 2 m M