圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式54339

圆锥曲线的极坐标方程

知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ

ρcos 1e ep

-=.

其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cos ep

e ρθ

=

则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆

当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线

当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）1+sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向下的抛物线

当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线

例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.确定方程10

53cos ρθ

=

-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：3102

5333

1cos 1cos 55

ρθθ⨯

==--

31053

e P ∴==，

2332555851015

103383c a c a a b a c c c

⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨

⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩

52

b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25

54

长轴长，短轴长

解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需

令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。

点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，

简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

1、椭圆中，c

b c c a p 2

2=-=，θθπθ2

222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

若M 、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222

cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=

--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2222

cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.

3、抛物线中，θ

θπθ2

sin 2)cos(1cos 1p

p p MN =--+-=

例1过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3

π

的直线，交双曲线与

A 、

B 两点，求AB ｜｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得 523cos ρθ

=

-

所以 又由 得 注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。 点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,

所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端

点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或

为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用

变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6

π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 求AB ｜｜

解：

附录直角坐标系中的焦半径公式

设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；

12

(,),(,)33

A B ππρρπ+12||

AB ρρ=+5580||7

23cos 23cos()33

ππ

π=+=

--+12ρρ+12ρρ+()12-ρρ+12ρρ

+ρ=

12(,),(,)

66

A B ππ

ρπρ+-12||

AB ρρ=

+1

1

|

|

11)66

πππ=++--（

）|=

2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，

当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2

p x PF +=.

利用弦长求面积

高考题（08年海南卷）过椭圆2

2

15

4

x

y

+

=的焦点F 作一条斜率为2的

直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积． 简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式22

2||1cos ep

AB e θ

=

-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2

AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。 变式(2005

年全国高考理科)已知点F 为椭圆2

212

x y +=的左焦点.过点F

的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，

过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.

解析以点F

为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：

2

ρ= 设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：

2||1

1cos 2

PQ θ=

-

，202||1

1

1cos (90)1sin 2

2

MN θθ=

=

-+-

用他们来表示四边形的面积

4

=