新课标人教数学 直线与圆中的最值问题(含答案)

二、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离 例 2、求圆
x 2 y 3 4
2 2
上的点到 x y 2 0 的最远、最近的距离
2 2 （x - 1 ） （y 1 ） 2
x y40
上的点与直线 的最大值和最小值.
2【分析】先求出点 A 关于直线 3 x 4 y 4 0 的对称点 A ' ，连接 A 和 B 交直线于点 P，根据三角形的两边之和 大于第三边可知，此时
PA
＋
PB
取值最小，最小值为 | A ' B | .根据两点间的距离公式即可求得最小值。
【解答】如图示：
，设点 A 关于直线 3 x 4 y 4 0 的对称点为 A ' ( x, y ) ，
PA
＋
PB
取最小值时，这
个最小值为（
）.A． 5 13 B． 362
C． 15 5
D． 5 10 2
3、已知点 A(3,8) 、 B(2,2) ，点 P 是 x 轴上的点，求当
AP PB
最小时的点 P 的坐标．
【解答】如图示：
,考虑代数式的几何意义:
Leabharlann Baidu
⑴
y y 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即 取得最 x x
直线与圆
二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1 直线具有斜率 k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它的弦长
1 2 1 2 y1 y2 AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 ) ( x x ) 4 x x 1 2 1 2 k
B ' A 与 x 轴交点为 P(1, 0) 即为所求.
直线与圆中的最值问题
一、直线与圆的交点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径之间的比较，或者是利用方程有解的问题。
2 2 例 1、若直线 4 x 3 y a 0 与圆 x y 100 (1)相交(2)相切(3)相离分别求实数 a 的取值范围
y 5 3 1 x3 4 3( x 3 ) 4( 5 y ) 4 0 2 2 则 解得 x 3, y 3
即 A ' (3, 3)
| A ' B | (2 3) 2 (15 3) 2 5 13
即
PA
＋
PB
的最小值为 5 13 .
∴当
|2 b| 3 ，即 b 6 2 时，直线 OP 与圆相切.∴ y x 的最大值为 6 2 ，最小值为 6 2 2
. （3）要 x 2 y 2 的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与 x 轴的左交点时，点到原点的距离最小； 当点位于圆与 x 轴的右交点时，点到原点的距离最大； ∵左交点坐标为 (2 3, 0) ，右交点坐标为 (2 3, 0) ∴ x 2 y 2 的最大值与最小值分别为 2 3 ， 2 3 ∴ x 2 y 2 的最大值与最小值分别为 7 4 3 ， 7 4 3 .
3【分析】先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B ' ，连接点 A 和点 B ' 交 x 轴于 P 点，根据三角形的两边之和大于第三边 可知，此时
AP PB
取值最小，最小值为 | B ' A | ，点 P 的坐标即为 B ' A 与 x 轴交点。
【解答】如图示：
，点 B 关于 x 轴的对称点为 B ' (2, 2) ， B ' A ： 2 x y 2 0
大值与最小值； ⑵ y x 即过圆上点，且斜率为 1 的直线在 y 轴上截距； ⑶ x 2 y 2 即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与 x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当 点位于圆与 x 轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设 P( x, y ) 为圆 ( x 2) 2 y 2 3 上一点.
y y 的几何意义为直线 OP 的斜率，设 k ，则直线 OP x x
的方程为 y kx .当直线 OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值.
|2k 0| k 1
2 2
∵圆心到直线 y kx 的距离 d 圆相切.∴

|2k | k 1
2 2
，∴当
|2k | k 2 12
3 ，即 k 3 时，直线 OP 与
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 用韦达定理来进行计算.
y1 y2 k ( x1 x2 ) ，运
2 当直线斜率不存在是,则
AB y1 y2
.
三、过两圆 C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0 和 C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0 的交点的圆系方程，一般设为 x2+y2 +D1x +E1y +F1+λ(x2 + y2 +D2x +E2y+F2) = 0 (λ 为参数)此方程不包括圆 C2. 四、对称问题 1 和最小，化异侧（两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值） 2 差最大，化同侧（两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值） 例题分析
1、如果实数 x, y 满足等式 ( x 2) 2 y 2 3 ， （1）求
y 的最大值和最小值;（2）求 y x 的最大值与最小值；（3）求 x 2 y 2 的最大值与最小值. x
2、已知两定点 A(3,5) ， B(2,15) ，动点 P 在直线 3 x 4 y 4 0 上，当
y 的最大值为 3 ，最小值为 3 . x
（2）令 y x b ，即 y x b ，求 y x 的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为 1 的直线在 y 轴上 截距的最大值与最小值. 当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线 y x b 的距离 d
|2 0 b| 12 12 |2 b| 2