抽象函数求值高中数学高考
高考数学中抽象函数的解法
函数 y f ( x) 的图象关于点 (a b ,0) 成中心对称图形。 2
（ 3）设 a, b 均为常数，函数 y f (x) 对一切实数 x 都满足 f (a x) f (b x) 函
数y
f (x) 的图象关于轴 x
ab 对称。
2
4
例 14：如果 f ( x) = ax 2 bx c 对任意的 t 有 f (2 t ) f 2 t ) , 比较
所以 f ( x2 ) f ( x1 (x2 x1)] f (x1) f (x2 x1) f ( x1 )
所以 y f ( x) 在 R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋 值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相 关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）
九、周期问题
命题 1：若 a 是非零常数，对于函数 y=f(x) 定义域的一切 x，满足下列条件之一，则函 数 y=f(x) 是周期函数 .
函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= － f(x) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
1 函数 y=f(x) 满足 f(x+a)= f ( x ) ，则 f(x) 是周期函数，且 2a 是它的一个周期 .
下面来证明，对任意 x R, f ( x) 0 设存在 x0 R ，使得 f ( x0 ) 0 ，则 f (0) f (x0 x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0 这与上面已证的 f (0) 0矛盾，因此，对任意 x R, f ( x) 0 所以 f ( x) 0 评析：在处理抽象函数的问题时， 往往需要对某些变量进行适当的赋值， 般向特殊转化的必要手段。
3.5.5 抽象函数-(必修第一册) (教师版)
抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数f(x)=log a x型，由f(2)=1可知f(x)=log2x，则易得f(4)=2，f(8)=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)= f(x)f(y)可令f(x)=a x，又因f(1)=2，得f(x)=2x，故易得f(3)=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x ,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.【解析】令x =y =0，得f(0)=0，令x =n ,y =1，得f (n +1)=f (n )+2[f (1)]2令n =1，得f (1)=f (0)+2f [(1)]2=2f [(1)]2，∴f (1)=12，∴f (n +1)−f (n )=12， ∴f (n )=n 2，即f (2001)=20012.【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取x =0等)或特殊关系(如取y =x ， y =−x 等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y =f(x)是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x ,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x >1时，f(x)<0；③f (3)=−1．(1)求f(1) ,f(19)的值；(2)证明f(x)在R +是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2−x)<2成立，求x 的取值范围．【解析】(1)令x =y =1，∴f (1)=f (1)+f (1)，∴f (1)=0，令x =y =3，∴f (9)=f (3)+f (3)=−1−1=−2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 ,得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x 2>x 1>0，则x 2x 1>1 ∴由②得 f(x2x 1)<0 ∵f(xy)=f(x)+f(y)∴f (x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)<0∴f(x)在R +上为减函数．(3)由条件①得f[x(2−x)]<2 , (凑项f (m )=2，再利用单调性求解)由f (19)=2得f [x (2−x )]<f (19)，又∵f(x)在R +上为减函数，∴x(2−x)>19又∵x >0，2−x >0，(注意函数定义域)解得x 的范围是(1−2√23 ,1+2√23)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明◆ 任取x 1 ,x 2∈D ，且x 1<x 2；◆ 作差f(x 1)－f(x 2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x 1)－f(x 2))此步有时也会用作商法：判断f (x 1)f (x 2)与1的大小； ◆ 变形；◆ 定号(即判断差f (x 1)−f(x 2)的正负)；◆ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)．② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.③ 抽象函数f (xy )=f (x )+f (y )符合对数函数f (x )=log a x 型，由f (3)=−1可知f (x )=log 13x ，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R 上的增函数y =f(x)对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k ∙3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)在f(x +y)=f(x)+f(y)中，令x =y =0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y =−x ，得f(0)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k∙3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k∙3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，(分离参数法)又有3x+23x−1≥2√2−1(当x=log3√2时取到等号)，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k∙3x)+f(3x−9x－2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞ ,2√2−1)．【点拨】②判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(−x)与f(x) 的关系.②抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)是正比例函数f(x)=kx(x≠0)型，由f(x)是增函数，可知k>0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T )= f (x)，则在区间[0 ,2T]上，方程f (x)= 0根的个数最小值为.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(−T2)=f(−T2+T)=f(T2)，且f(−T2)=−f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 ,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1 (★★) f(x)的定义域为(0 ,+∞)，对任意正实数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(√2)= .【答案】 12【解析】取x =y =2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x =y =√2，得f(2)=f(√2)+f(√2) ⇔ f(√2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，则f(2019)= ．【答案】 1±√22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，变形可得[f (x +2)−1]2+[f 2(x)−2f(x)+1]=1，即[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，令x =−1可得[f (−1)−1]2+[f (1)−1]2=1，即2[f (1)−1]2=1，解可得：f(1)=f(−1)=1±√22，又由f(x)满足[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，则有[f (x +4)−1]2+[f (x +2)−1]2=1，联立可得：[f (x +4)−1]2=[f (x )−1]2，变形可得：f(x +4)=f(x)或f(x +4)+f(x)=2，若f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=1±√22，此时有f(2019)=1±√22， 若f(x +4)+f(x)=2，即f(x +4)=2−f(x)，则有f(x +8)=2−f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2−f(−1)=1±√22， 综合可得：f(2019)=1±√22， 故答案为：1±√22．3(★★) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[−6 ,6]内解的个数的最小值是.【答案】13【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f(3)=f(6)=f(−6)=f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(−1)=f(−4)=0，f(−5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，−5，−2，－1，1，4，−4共13个，故选：D．4 (★★★)已知定义在(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)上的函数f(x)满足①对任意x ,y∈(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 ,0)∪(0 ,−4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤−2或x≥8 3【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=−a，则f(a2)=f(−a)+f(−a)=2f(−a)，即f(a)=f(−a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0<x1<x2，则x2－x1>0，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，－4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，∴函数f(x)在区间[－4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，－4]上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x －2)+f(x)≥4可化为：f[(3x －2)x]≥f(16)，由(2)中结论可得：|(3x －2)x|≥16，即(3x －2)x ≥16或(3x －2)x ≤－16，解得x ≤－2或x ≥835 (★★★) 已知定义在(0 ,+∞)的函数f(x)，对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)>0．(1)证明：当x >1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 ,2]【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y =1x ，则f(1)=f(x)+f(1x )=0，当x >1时，0<1x <1．∵f(1x )>0．∴f(x)=－f(1x )<0(2)任取x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)=f(x2x 1) ∵x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f(x2x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，(3)f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，∴f(x 2+y 2)≤f(axy)恒成立，∴x 2+y 2≥axy ，∴0<a ≤x 2+y 2xy =y x +x y ≥2，当且仅当x =y 取等号，∴实数a 的取值范围(0，2]6 (★★★) 定义在R 上的单调增函数f(x)满足：对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(1+2x )+f(t ∙3x )>0对x ∈(−∞ ,1]恒成立，求t 的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t >−1【解析】 (1)令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y =－x ，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t •3x )>－f(1+2x )，∴f(t •3x )>f(－1－2x )，∴t •3x >－1－2x∴t >−(13)x −(23)x 恒成立，而−(13)x −(23)x 单调递增，∴−(13)x −(23)x ≤−1从而t >－1．挑战学霸已知f (x )是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x ,y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y )， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x ∈Z 时，求f(x)的解析式；②当x ∈R 时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x +y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y =0得f(0)=0.若存在x ≠0，使得f(x)=0，则对任意y ∈R ，f(y)=f(x ⋅y x )=f(x)f(y x )=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x ≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y =−x 得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f (−x )=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．x ,y ∈R ， y >x 时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y −x)=(f(√y −x))2>0， 可得f (y )>f(x)．所以函数f(x)在R 上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x ,y =1得f (1)=f 2(1)．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n ，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)⏟ n 个=n ×1=n ，f (−n )=−f (n )=−n ，又因为f(0)=0，所以x ∈N 时，f(x)=x ；对任意有理数m n (m ∈N ∗，n ∈N ∗)，由①， f(m)=f(n ⋅m n )=f(m n )+⋯+f(m n )=nf(m n)⏟ n 个， 所以f(m n )=f(m)n =m n，即对一切x ∈Z ,f(x)=x ． ②若存在x ∈R ，使得f(x)≠x ，不妨设f(x)>x (否则以−f(−x)代替f(x)，−x 代替x 即可)， 则存在有理数α，使得x <α<f(x)(例如可取n =[1f(x)−x ]+1，m =[nx]+1，α=m n)． x <α但f(x)>α=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x ∈R 时，f(x)=x ．。
高一上抽象函数复习讲义(学生版) (2)
第二讲抽象函数的赋值计算及其性质7类题型压轴专练为何把这个关于函数的小知识点单独作为一个专题呢？因为就是这个小点已经连续两年出现在高考试卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多选次压轴，第11道题，再比如，2022年新高考Ⅱ卷单选压轴第8题，都以抽象函数命制的！想必接下来的各省市将大量出现这个题型！因此，有必要把这种抽象函数概括总结清楚。
题型一抽象函数赋值计算题型二抽象函数的奇偶性题型三抽象函数的单调性题型四抽象函数的值域题型五抽象函数的对称性题型六抽象函数的周期性题型七从解析式角度对抽象函数的再认识1、余（正）弦型函数2、对数型函数3、指数型函数4、一次函数5、正切型函数6、其它函数抽象函数解题思路：主要考法四类题：赋值求值，证明单调性、证明奇偶性、解不等式①赋值求值：根据函数特性赋值来求某些函数的值。
②证明单调性．③证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到的关系与)()(x f x f -。
④解不等式：利用函数的单调性和奇偶性解不等式。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。
高考数学总复习抽象函数问题的题型综述
抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。
其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例 1定义在R上的函数 f ( x) 满足： f (x) f (4 x) 且 f (2 x) f ( x 2)0 ，求f ( 2000) 的值。
解：由 f (2 x) f ( x 2)0 ，以 t x 2 代入，有 f ( t ) f (t ) ，f (x) 为奇函数且有 f (0)0又由 f ( x 4) f [ 4 ( x)]f ( x)f ( x)f ( x8)f ( x4)f( x)故f (x) 是周期为8的周期函数，f (2000) f (0)0例 2已知函数 f(x) 对任意实数x，y都有 f ( x y) f ( x) f ( y) ，且当x 0时，f ( x)0，f ( 1)2，求 f ( x)在 [ 2，1] 上的值域。
解：设 x1x2且x1，x2 R ，则 x2x1 0 ，由条件当 x 0时， f ( x)0f ( x 2x 1 ) 0又 f (x 2 )f [( x 2 x 1 ) x 1 ] f (x 2x 1 ) f ( x 1 )f ( x 1 )f (x) 为增函数，令 y x ，则 f ( 0) f ( x) f ( x)又令 xy得 f (0)f ( x) f ( x) ，故 f (x) 为奇函数，f (1) f (1) 2 ， f ( 2) 2 f ( 1) 4f ( x) 在[ 2，1] 上的值域为 [ 4， 2]二 . 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。
学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是［0，1］，求()x f 的定义域。
解：()12-x f 的定义域是［0，1］，是指10≤≤x ，所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是：[]11,-.评析：一般地，已知函数()()x g f 的定义域是A ，求()x f 的定义域问题，相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ，据此求()x g 的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-，求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。
解：)(x f 的定义域是[]11,-，意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中，由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数()()x g f 的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
抽象函数高考类型
抽象函数高考类型函数是高中数学的核心内容，一直是高考重要考查对象.其中没有明确给出函数解析式的函数即抽象函数就是一个很好的载体.近几年来，各地高考题中有加强考查力度的趋势，现结合例题谈谈抽象函数的解题策略.一、求函数值例1、已知偶函数()f x 对任意,x y 恒有()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，求()()0,1f f 的值.解：取0x y ==，得()()()00001f f f +=++，得()01f =-.取1x y =-=，得()()()111121f f f -=+--+，又()f x 为偶函数，则()()0211f f =-，故()10f =.评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.二、求函数的定义域例2、若函数()1y f x =+的定义域为[]2,3-，求函数()1y f x =-的定义域. 解：由已知23x -≤≤，∴ 114x -≤+≤ .∴ ()y f x =的定义域为[]1,4-.令114x -≤-≤，则05x ≤≤∴ ()1y f x =-的定义域为[]0,5.评注：⑴首先要证明定义域是仅指自变量x 的取值范围；⑵求定义域的题型一般有以下两种：①已知()f x 定义域为[],a b ，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域用整体代入法，即不等式()a g x b ≤≤；②已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，求()f x 定义域，即求()g x 的值域.三、求函数解析式例3、若对于任意,x y R ∈，恒有()()()1f x y f x xy x y +=+++且()01f =-，求()f x 的解析式.解：令x y =-，则有()()()201f f x xx x =---.又()01f =-，所以()21f x x =--.评注：求解析式关键是构造出()f x ，这可以通过赋值解决，要注意一般跟特殊间的转换.四、判断函数的奇偶性例4、已知()f x 是定义在R 上的函数，且对任意的,x y R ∈都有()()()f x y x f y y f x +=+，试判断()f x 的奇偶性，并说明理由. 解：令0x y ==，有()00f =；再令x y =-，有()()()()()0f xf x xf x x f x f x =--=--⎡⎤⎣⎦.由x 的任意性，有()()f x f x -=.故()f x 为偶函数.评注：判断函数的奇偶性，关键是构造出()f x 与()f x -的关系，这也可以通过赋值完成.五、考查函数的周期性例5、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数的图像关于直线2x =对称，证明()y f x =是周期函数.证明： ()f x 关于直线2x =对称，∴ ()()4f x f x -=--⎡⎤⎣⎦又()f x 是定义域在R 上的奇函数，∴ ()()f x f x =-.∴ ()()4f x f x +=-∴ ()()()()8444f x f x f x f x +=++=-+=⎡⎤⎣⎦∴ ()f x 是以8为周期的周期函数.评注:1.周期问题的背景应该是三角函数，这类问题有利于培养同学们由特殊到一般的辩证唯物主义思想.2.证明函数的周期性一般是用定义法，此处应该记住下面的结论：⑴若()()f x a f x +=-，则()f x 以2a 为周期；⑵若()()1f x a f a +=-，则()f x 以2a 为周期； ⑶若()()()11f a f x a f a ++=-，则()f x 以4a 为周期； ⑷若()y f x =，关于x a =与x b =对称，则()f x 以2b a -为周期；⑸若()()f x a f x b +=+，则()f x 以b a -为周期.六、判断函数的单调性例6、已知函数()f x 对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，试判断()f x 在R 上的单调性.解：令0x y ==，则()()()000f f f =+，得()00f =；再令x y =-，得()()0f x f x +-=.所以()f x 是奇函数.设12,x x R ∈且12x x <，则()()()21210f x f x f x x +-=->.故()f x 在R 上单调递增.评注：判断函数的单调性时，常用定义法去判断.。
抽象函数技巧总结(教师)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-二、利用函数性质，解()f x 的有关问题 1.判断函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。
抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。
掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。
抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。
在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。
下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。
根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。
将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。
将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。
答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。
下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。
因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。
抽象函数_题型大全(例题_含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。
抽象函数的赋值计算与模型总结(学生版)
抽象函数的赋值计算与模型总结目录【题型1】抽象函数的赋值计算求值【题型2】抽象函数的奇偶性【题型3】抽象函数的单调性【题型4】抽象函数的最值与值域【题型5】抽象函数的对称性【题型6】抽象函数的周期性【题型7】一次函数的抽象表达式【题型8】对数型函数的抽象表达式【题型9】指数型函数的抽象表达式【题型10】幂函数的抽象表达式【题型11】正弦函数的抽象表达式【题型12】余弦函数的抽象表达式【题型13】正切函数的抽象表达式【题型14】二次函数的抽象表达式【题型15】其它函数的抽象表达式【题型1】抽象函数的赋值计算求值赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：1、⋯⋯-2，-1,0,1,2⋯⋯等特殊值代入求解1.(2024·长沙市第一中适应性训练)已知定义域为R的函数f x ，满足f x+y=f x f y -f2-x=0，则f2 =.，且f0 ≠0，f-2f2-y2.(2024·福建龙岩·一模)已知函数f x 的定义域为R，且f x+y=1，-f x f y =0，f-1+f x-y则f0 =【巩固练习】1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R)，f(1)=2，则f(3)=，f(-3)=.2.已知对所有的非负整数x,y x≥y均有f x+y+f x-y-x+y-1=12f2x+f2y，若f1=3，则f5 =．3.(2024·安徽合肥·一模)已知函数f x 的定义域为0,+∞，且x+yf x+y=xyf x f y ,f1 =e，记a=f12,b=f2 ,c=f3 ，则()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a【题型2】抽象函数的奇偶性证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到f(-x)与f(x)的关系2024·福建莆田·二模1.已知定义在R上的函数f x 满足：f x+y=f x +f y -3xy x+y，证明：y=f x 是奇函数2024·长沙市第一中适应性训练2.已知定义域为R的函数f x ，满足f x+y=f x f y -f2-xf2-y，且f0 ≠0，f-2=0，证明：f x 是偶函数【巩固练习】1.(多选)定义在R上的函数f x 满足：对任意的x,y∈R,f x+y=f x +f y ，则下列结论一定正确的有()A.f0 =0B.f x-y=f x -f yC.f x 为R上的增函数D.f x 为奇函数2.(多选)已知定义在R上的函数f x 满足f xy=f x f y -f x -f y +2,f0 <2,f0 ≠f1 ，且f x >0，则()A.f0 =1B.f-1=2 C.f-x=2f x D.f-x=f x3.(2024·全国·模拟预测)(多选)已知函数f x 的定义域为R，满足f x f y -f x =xy-y，则()A.f0 =1B.f-1=1 C.f x+1为偶函数 D.f x+1为奇函数4.(2024届韶关市一模)已知f x 是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数a,b满足f ab=af b +bf a ，若f e =e，则f-1+f-1 e=()A.1e B.-1eC.1-1eD.1+1e【题型3】抽象函数的单调性判断抽象函数单调性的方法：(1)凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.1.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对于∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)<0，证明：f(x)为减函数.2.已知函数f x 是定义在R 上的函数.对任意a ,b ∈R ，总有f a +b =f a +f b ，f -1 =23，且x <0时，f x >0恒成立.(1)求f 2(2)判断f x 的奇偶性并证明(3)证明f x 在0,+∞ 上单调递减【巩固练习】1.(多选)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，对于任意的x ,y 都有f xy =f x +f y -1；且f 2 =3；当x >1时，f x >1；则下列结论正确的是()A.f 1 =1B.f (x )是奇函数C.f (x )在(0,+∞)上单调递增D.f (x -1)>7的解集为{x ∣x <-7或x >9}2.若定义在R 上的函数f (x )对任意x 1,x 2∈R ,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-1成立，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证:y =f (x )-1为奇函数;(2)求证:f (x )是R 上的增函数;(3)若f (4)=5，解不等式f (3m -2)<3.3.(2023·湖南师大附中校考)已知连续函数f(x)满足：①∀x,y∈R，则有f x+y=f x +f y -1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则以下说法中正确的是()A.f0 =1B.f4x=4f x -4C.f(x)在-3,3上的最大值是10D.不等式f3x2-2f x >f3x+4的解集为x23<x<1【题型4】抽象函数的最值与值域结合奇偶性与单调性来判断最值或值域1.已知函数f x 对任意的x,y∈R，总有f x+y=f x +f y ，若x∈-∞,0时，f x >0，且f1 =-23，则当x∈-3,1时，f x 的最大值为()A.0B.23C.1D.2【巩固练习】1.已知连续函数f(x)满足：①∀x,y∈R，则有f x+y=f x +f y -1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=-2，则f(x)在-3,3上的最大值是2.已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，f(1)=-2，则f(x)在[-3，3]上的最大值是【题型5】抽象函数的对称性抽象函数的对称性常有以下结论(1)f x+a=f b-x⇒f x 关于x=a+b2轴对称，(2)f x+a+f b-x=2c⇒f x 关于a+b2,c中心对称，2024·江苏南通·二模1.(多选)已知函数f x ，g x 的定义域均为R，f x 的图象关于点(2，0)对称，g(0)=g(2)=1，g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y)，则()A.f x 为偶函数B.g x 为偶函数C.g(-1-x)=-g(-1+x)D.g(1-x)=g(1+x)【巩固练习】1.已知对任意实数x，y，函数f x 满足f xy+1=f x+1+f y+1，则f x ()A.有对称中心B.有对称轴C.是增函数D.是减函数2.(2024·重庆八中校考)(多选)已知函数f x 的定义域为R，且f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x >0，且满足f2 =1，则下列说法正确的是()A.f x 为奇函数B.f-2=-1C.不等式f2x-f x-3>-2的解集为-5,+∞D.f-2023+f-2022+⋯+f0 +⋯f2022+f2023=20233.(多选)已知定义域为R的函数f x 对任意实数x,y都有f x+y+f x-y=2f x f y ，且f12 =0，则以下结论一定正确的有()A.f0 =-1B.f x 是偶函数C.f x 关于12,0中心对称 D.f1 +f2 +⋯+f2023=0【题型6】抽象函数的周期性抽象函数周期问题一般先求对称性2024山东青岛·统考三模1.设f x 为定义在整数集上的函数，f 1 =1，f 2 =0，f -1 <0，对任意的整数x ,y 均有f x +y =f x f 1-y +f 1-x f y ．则f 55 =．2.函数f x 的定义域为R ，且f x +2 =-f x +1 -f x ，f x =f 2-x ，f 365 =-1，则2023k =1f k =.3.(2024届厦门一中校考)若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (x )=f (x +1)+f (x -1)，且f (1)=2，则f (2024)=．【巩固练习】1.(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-12.(2024·福建龙岩·一模)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y +f x -y -f x f y =0，f -1 =1，则()A.f 0 =0B.f x 为奇函数C.f 8 =-1D.f x 的周期为33.(2024·福建厦门·一模)已知函数f (x )的定义域为R ，∀x ，y ∈R ，f (x +1)f (y +1)=f (x +y )-f (x -y )，若f (0)≠0，则f (2024)=()A.-2B.-4C.2D.44.函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R ，恒有f x +f y =2f x +y 2 ⋅f x -y 2 ，若f 1 =12，则f -1 =，2022n =1f n =．5.(深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题)(多选)已知函数f x 的定义域为R ，且f x +y f x -y =f 2x -f 2y ，f 1 =3，f 2x +32为偶函数，则()A.f x 为偶函数B.f 2 =3C.f 3+x =-f 3-xD.2023k =1f k =3【题型7】一次函数的抽象表达式一次函数的抽象表达式(1) 对于正比例函数f(x)=kx ，与其对应的抽象函数为f(x±y)=f(x)±f(y) .(2) 对于一次函数f(x)=kx+b ，与其对应的抽象函数为 f(x±y)=f(x)±f(y)∓b.(3) 对于一次函数f(x)=k x-b，与其对应的抽象函数为 f(x+y-b)=f(x)+f(y).1.已知函数f x 的定义域为R，且f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个f x 的解析式为f x =.①∀m,n∈R，f m+n；②f x 为奇函数；③f x 在R上单调递减.=f m+f n2.(2023-2024学年重庆一中高一期中)(多选)已知定义在区间[-4，6]上的函数f(x)满足：对任意m，n∈R均有f m-n+1；当x>1时，f x >0．则下列说法正确的是+f n =f mA.f(1)=0B.f(x)在定义域上单调递减C.f(x+1)是奇函数D.若f(2)=1，则不等式f(2x)>f(x)+2的解集为(2，3]【巩固练习】1.(2024·安徽安庆·二模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，f(x)<1，则()A.f(0)=1B.f(1)+f(-1)=1C.函数f(x)为减函数D.函数的图象关于点0,1对称2.(2024·山东泰安·一模)(多选)已知函数f x 的定义域为R，且f1 =0，若f x+y=f x +f y +2，则下列说法正确的是()A.f-1=4046 D.函数f x +2是奇函数 =-4 B.f x 有最大值 C.f2024【题型8】对数型函数的抽象表达式对数函数的抽象表达式(重要)对数函数f (x )=log a x ，其对应的抽象函数为f (xy )=f (x )+f (y ) 或fxy=f (x )-f (y )补充：对于对数函数f (x )=log a x ，其抽象函数还可以是f (x n)=nf (x )奇偶性证明：只需构造f (x 2)-f (x 1)=fx 2x 1⋅x 1-f (x 1)=f x2x 1即可1.已知函数f (x )满足：①对∀m ，n >0，f (m )+f (n )=f (mn )；②f 12=-1．请写出一个符合上述条件的函数f (x )=．2.(2024·安徽·二模)已知函数y =f x x ≠0 满足f xy =f x +f y -1，当x >1时，f x <1，则()A.f x 为奇函数B.若f 2x +1 >1，则-1<x <0C.若f 2 =12，则f 1024 =-4 D.若f 12=2，则f 11024=10【巩固练习】1.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12 =0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-12.已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，对定义域内的任意x 1,x 2都有f x 1x 2 =f x 1 +f x 2 ，且当0<x <1时，f x >0.(1)证明：当x >1时，f x <0；(2)判断f x 的单调性并加以证明；【题型9】指数型函数的抽象表达式对于指数函数 f (x )=a x，与其对应的抽象函数为f (x +y )=f (x )f (y ) 或f (x -y )=f (x )f (y ).奇偶性证明：由f (x +y )=f (x )⋅f (y )得f (x +y )f (x )=f (y )，判断f (x 2)f (x 1)=f (x 2-x 1)和1的大小关系1.已知函数f x 的定义域为R ，且f x 的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个f x 的解析式为f x =.①∀m ,n ∈R ，f m +n =f m f n ；②f x 在R 上单调递减.2.(2023上·浙江·高一校联考)(多选)已知定义在R 上的函数y =f x 满足：①y =f x 是偶函数；②当x >0时，f x >1；当x ≥0，y ≥0时，f x +y =f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 在0,+∞ 上单调递增C.不等式f x <f 4f 2的解集为-6,2 D.f x +y =f x +f y【巩固练习】1.如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.82.已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6f 5+f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.753.已知定义在R 上的函数f x 满足：对任意的实数x ，y 均有f xy =f x f y ，且f -1 =-1，当0<x <1且f x ∈0,1 .(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断f x 在0,+∞ 上的单调性，并证明；【题型10】幂函数的抽象表达式对于幂函数f (x )=x a，与其对应的抽象函数为f (xy )=f (x )f (y )或f x y=f (x )f (y )1.(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【巩固练习】1.已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【题型11】正弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，f (x )=a sin ωx ，f (x )=a cos ωx ，以下均以a =ω=1为例对于正弦函数f (x )=sin x ，与其对应的抽象函数为f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y )注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin2α-sin 2β=sin (α+β)sin (α-β)2024·广东江门·一模1.函数f x的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数f x 的一个解析式.【巩固练习】1.(多选题)(2024·辽宁·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y ),f (1)=2,f (2)=0，则下列说法中正确的是()A.f (x )为偶函数B.f (3)=-2C.f (-1)=f (5)D.2024k =2f (k )=-22.(多选题)(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，且f (x +y )f (x -y )=f 2(x )-f 2(y ),f (1)=1,f (2)=0，则下列说法中正确的是()A.f (x )为偶函数B.f (3)=-1C.f (-1)=-f (5)D.2023k =1f (k )=1【题型12】余弦函数的抽象表达式三角函数注意系数的配凑，f (x )=a sin ωx ，f (x )=a cos ωx ，以下均以a =ω=1为例(1) 对于余弦函数f (x )=cos x ，与其对应的抽象函数为f (x )+f (y )=2f x +y 2 f x -y 2 注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cos α-β2(2) 对于余弦f (x )=cos x 函数 ，其抽象函数还可以是f (x )f (y )=12[f (x +y )+f (x -y )]注：余弦积化和差公式：cos αcos β=cos (α+β)+cos (α-β)2，2022新高考2卷T 8用的就是这个模型2024·吉林白山·一模1.已知函数f x的定义域为，且，f 1 =1，请写出满足条件的一个f x =(答案不唯一)，f 2024 =．2024·重庆一中3月月考2.(多选)函数f x 的定义域为R ，且满足f x +y +f x -y =2f x f y ，f 4 =-1，则下列结论正确的有()A.f 0 =0B.f 2 =0C.f x 为偶函数D.f x 的图象关于1,0 对称【巩固练习】1.已知函数f (x )满足：f (1)=14,4f (x )f (y )=f (x +y )+f (x -y )(x ,y ∈R )，则f 2023 =.2.(2022新高考2卷T 8)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1，则22k =1f(k )=()A.-3B.-2C.0D.13.(2024·河北·模拟预测)(多选)已知定义在R 上的连续函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f x +y +f x -y =f x f y ，f 1 =0，当x ∈0,1 时，f x >0恒成立，则下列说法正确的是A.f 0 =1 B.f x 是偶函数C.f 13=3 D.f x 的图象关于x =2对称【题型13】正切函数的抽象表达式对于正切函数 f (x )=tan x ，与其对应的抽象函数为f (x ±y )=f (x )±f (y )1∓f (x )f (y )注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β1.已知函数f x 满足f (1)=1，f (x +y )=f (x )+f (y )1-f (x )f (y )，则()A.f 0 =0B.f -x =-f xC.f x 的定义域为RD.f x 的周期为4【巩固练习】1.(2024·广西贺州·一模)(多选)已知函数f (x )的定义域为(-1,1),f (x )+f (y )=f x +y1+xy，且当x ∈(0,1)时，f (x )>0，则下列说法正确的是()A.f x 是奇函数B.f x 为增函数C.若实数a 满足不等式f (2a )+f (a -1)>0，则a 的取值范围为13,+∞ D.f 12-f 13 >f 162.定义在-12,12 上的函数f (x )满足：对任意的都有，且当0<x<12时，．(1)判断f (x )在上的单调性并证明；(2)求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式在-12,12上恒成立．【题型14】二次函数的抽象表达式二次函数对于二次函数f (x )=ax2+bx +c ，与其对应的抽象函数为f (x +y )=f (x )+f (y )+2axy -c1.(2024·浙江杭州·模拟预测)对于每一对实数x ，y ，函数f 满足函数方程f x +f y =f x +y -xy -1，如果f 1 =1，那么满足f m =m m ≠1,m ∈Z 的m 的个数是()A.1个B.2个C.3个D.无数多个2.(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【巩固练习】1.(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12是偶函数 D.f x -12是偶函数2.(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135B.395C.855D.990【题型15】其它函数的抽象表达式理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。
高考抽象函数技巧全总结
抽象函数高考讲解1.判断函数的奇偶性：例 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.确定参数的取值范围例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.解不定式的有关题目例9：如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
例2、已知函数f （x ）对任意，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。
2、指数函数型抽象函数例3、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x 和y ，成立。
求：（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
例4、是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）＞0，x ∈N ；②；③f （2）＝4。
同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，如不存在，说明理由。
3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
例5、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f （1）；（2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。
例6、设函数y ＝f （x ）的反函数是y ＝g （x ）。
如果f （ab ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由。
高考数学 抽象函数赋值与构造-含解析
专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212。
抽象函数求值高中数学高考
、求值问题例1.对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)] 2且f ⑴丰0,则f(2001)= _____________ 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： f(n) 2[f(1)],令 x=0,y=1,得 f(0+1 2)=f(0)+2f[(1)] 2,令 x=y=0,得：f(0)=0,例2. 已知f(x)是定义在 R 上的函数，f(1)=1,且对任意x € R 都有f(x+5) > f(x)+5,f(x+1) < f(x)+1.若 g(x)=f(x)+1-x,贝y g(2002)= _________________ .1解：由 g(x)=f(x)+1-x, 得 f(x)=g(x)+x-1.而 f(x+5) >f(x)+5，所以 g(x+5)+(x+5)-1 >g(x)+x-1+5 , 又 f(x+1) w f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1 w g(x)+x-1+1 即 g(x+5) > g(x),g(x+1) w g(x).所以 g(x) w g(x+5) w g(x+4) w g(x+3) w g(x+2) w g(x+1),故 g(x)=g(x+1) 又 g(1)=1,故 g(2002)=1.例3、已知偶函数 f x 对任意x, y 恒有f x y f x f y 2xy 1成立，求 f 0 , f 1的值.解：取 x y 0 ,得 f 0 0 f 0 f 0 1，得 f 0 1.取 x y 1，得 f 1 1f 1 f12 1,又f x 为偶函数，则f 0 2f 1 1，故f 10.评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法例4.( 1996年高考题)设f (x)是(，)上的奇函数，f(2 x) f (x),当0 x 1时, f(x) x ，则 f (7.5)等于(-0.5 )令x n, y 1,得f(n 1)•-f(1)= ^,即 f(n21)-f( n)2,故 f (n)n—,f (2001)22001 2(A ) 0.5; (B ) -0.5; (C ) 1.5; (D ) -1.5.例5.已知f(x)的定义域为R ，且f (x y) f(x) f(y)对一切正实数x , y 都成立， 若 f (8) 4，则 f (2)。
抽象函数课件-2025届高三数学一轮复习
±
1∓
.
磨尖点一 抽象函数求值
磨尖课01 抽象函数
6
典例1 （一题多解）已知函数 的定义域为，且 + + − = ⋅
22
, 1 = 1，则 ∑ =( A
=1
A.−3
B.−2
) .
C.0
D.1
磨尖课01 抽象函数
−∞, −e
1
−2
上单调递减，显然此时0是 的极大值点，故D错误.故选ABC.
磨尖课01 抽象函数
16
对于抽象函数的性质的证明及综合问题，一般需要紧扣题干条件，反复赋值找到 与
− , 1 与 2 的关系.特别注意，在证明单调性时，常构造 1 = 2 + 1 − 2
②求不等式 − 1 > 2 的解集.
19
磨尖课01 抽象函数
20
解析 （法一：赋值法）（1）取1 = 2 = 1，得 1 × 1 = 1 + 1 ，即
1 = 0，
取1 = 2 = −1，得 1 = −1 + −1 = 0，即 −1 = 0，
取1 = ，2 = −1，得 − = + −1 = ，即 是偶函数.
（法二：原函数法）由 + = + + 1，设 = − 1，由 1 = 1，
解得 = 2，所以 = 2 − 1，则 4 = 2 × 4 − 1 = 7.
磨尖点二 抽象函数的性质
磨尖课0题多解）（多选题）（2023 ·新高考Ⅰ卷）已知函数 的定义域为，
即 + 2 + = + 1 ，从而可知 + 2 = − − 1 ，
2025高考数学培优25讲2.2抽象函数
由 f x y f x y f x f y ，联想到余弦函数和差化积公式
cos x y cos x y 2cosxcosy ，可设 f x acosx ，则由方法一中 f 0 2, f 1 1知
a
2, acos
1 ，解得 cos
1
，取
f
x y
f f
x y ．
指数函数
（6）对于指数函数 f x a x ，与其对应的抽象函数为 f x y f x f y ．
（7）对于指数函数
f
x a x ，其抽象函数还可以是
f
x y
f f
x y
．其中
(a
0,
a
1)
对数函数
（8）对于对数函数 f x logax ，与其对应的抽象函数为 f xy f x f y ．
4
则 f 2010 =
．
2．（多选题 2024·浙江·模拟预测）已知函数 f x 1 为偶函数，对 x R ， f x 0 ，且
f x 1 f x f x 2 ，若 f 1 2 ，则以下结论正确的为（ ）
A． f 2 2 B． f 3 1
C． f 1 f 5
D．
f
1 2
f
A．幂函数
B．对数函数
C．指数函数
D．余弦函数
2．（2014·陕西·高考真题）下列函数中，满足“ f x y f x f y ”的单调递增函数是（ ）
1
A． f x x 2
B． f x x3
C．
f
x
1 2
x
D． f x 3x
3．（2024·河南新乡·一模）已知定义在 R 上的函数 f x 满足 x, y R ，
高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)
抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
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二、求值问题
例1. 对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：
,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,
得：f(0)=0, ∴f(1)=2
1,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即
例2. 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1
解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1
即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.
例3、已知偶函数()f x 对任意,x y 恒有()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，求
()()0,1f f 的值.
解：取0x y ==，得()()()00001f f f +=++，得()01f =-. 取1x y =-=，得()()()111121f f f -=+--+， 又()f x 为偶函数，则()()0211f f =-，故()10f =.
评注：利用抽象函数的条件，通过赋值是解决抽象函数问题的最常用的方法.
例4.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，
x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）
（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例5. 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。
分析：在条件
f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得
f f f f ()()()()844244=+==，
∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1
例 6. 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，
f ()11997=，求f (2001)的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是
f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()
()
()()
()+=++-+=+
+--
+-=-412121111111
所以f x f x f x ()()
()+=-
+=81
4,故f x ()是以8为周期的周期函数，从而 f f f (2001)()()=⨯+==8250111997
变式训练：
1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2
，则f = （12
）
2.的值是则
且如果)
2001(f )
2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+Λ 。
2000 2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)
f f f f f f f f f +++++= .( ()2n
f n =,原式
=16)
3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f C
A.-1
B.1
C. 19
D. 43
4、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）
7
1
)71
(7)1(,,3)73(,2)72()7
2(21)272
0()71(,)71()2(21)],1([)1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522==∴===∴
=+
===-++-=+
=+-==∴=b f b f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a
a a f a f a f ΛΘ同理则设可解得又、 A . 2005 B. 2 C.1 D.0
5、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ） A ）18 B ）116
C ）8
D ）16
的值
求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)7
1
()2()1()
()()1()2
(,
,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<<
7、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得
，
对任何x 和y ，
成立。
求：
（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （0）＝1且f （x ）
＞0。
解：（1）令y ＝0代入
，则
，∴。
若f （x ）＝0，则对任意
，有
，这与题设
矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。
（2）令y ＝x ≠0，则
，又由（1）知f （x ）≠0，∴f
（2x ）＞0，即f （x ）＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。
8. 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①
；②
，求f(3)，f(9)的值。
解：取，得
因为，所以
又取
得
评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取
，这样便把已知条件
与欲求的f(3)沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
9．（05福建卷)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0
在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
10．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=，若()15,f =-则()()5f
f =__________。
3．解：由()()12f x f x +=
得()()
1
4()2f x f x f x +=
=+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11
5(5)(1)(12)5
f f f f f =-=-=
=--+。
11. 已知定义域为+
R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5
1
)6(1)2(=
=f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=
因为51)6(1
)2(==f f ，，所以5
4
)3(-=f 又取3==y x
得5
8)3()3()9(-
=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件
5
1
)6(1)2(=
=f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
12、设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，
对任何x 和y ，
成立。
求：
（1）f （0）；分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数的抽象函数，从而猜想f （0）
＝1且f （x ）＞0。
解：（1）令y ＝0代入
，则
，∴。
若f （x ）＝0，则对任意
，有
，这与题设
矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。
13、设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足
，
求：（1）f （1）； （2）若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围。
分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数的抽象函数，f （1）＝0，f （9）＝2。
解：（1）∵，∴f （1）＝0。
（2），从而有f （x ）＋f （x －8）≤f （9），
即
，∵f （x ）是（0，＋∞）上的增函数，故
，解之得：8＜x ≤9。
14、已知定义域为
的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②
，求f(3)，f(9)的值。
解：取
，得
因为，所以又取
得。