向量数乘运算及其几何意义-公开课课件

rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
例2.如图：已知 AD 3 AB，DE 3BC，试判断 AC与 AE
是否共线．
E C
解： AE AD DE
A
3AB 3 BC
B
3 AB BC
D
3 AC
r -12ra 5b
r rr - a +5 b -2 c
思考 :
rr
(1)若b a(a 0),则a,b位置关系如何? b // a
r rr r r r r r
(2)若b / /a(a 0),且 b = a 则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ
3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
书本P91，A组，9,10 B组,3
aA
思考：已知非零向量ar ，作出
r a
r a
r a
和(ar )
(ar )
(ar )
，
你能说明它们的几何意义吗？
r a
rrr
r a a a
3a O
A
B
C
3a与a方向相同 |3a|=3|a|
r r r r
a a a
3a N
M
Q
P
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
(a b) a b.
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意
向量
rr a、b
，以及任意实数
rr
、1、2r，恒有
r
（1a 2b）=1a 2b
仍是向量
例1.计算：
r (1)(3) 4a;
rr rr r (2)3(a b) 2(a b) a;
r rr r rr (3)(2a 3b c) (3a 2b c).
b
r
a
O
方法小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
例4.如uAuB图ur ，ar平, uA行uDur四边br 形，A你BC能D用的ar两、条br 对来角表线示相Muu交uAr、于uMu点uBr、MuMu，uCur 且和
uuuur MD
。
D
C
M
b
A
r a
B
小结:
一、①λa 的定义及运算律
(3) 已知向量 并进行比较。
a,b，求作向量2(a2+ab)2和b2a+2b，
b
a
a
b
2b
2(a
b)
2a
2b
2a
(a
b)
a
b
运算律：设 , 为实数，那么
结合律
a a
第一分配律 a a a
第二分配律 a b a b
特别的，我们有
r
r
r
()a (a) (a),
rr r r
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，首尾连
C ab b
A a B
特点:同一起点,对角线
B aC
b
a
b
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
ar特点：共起点，连br终点B，方向指u向uur被减r 向r量
r b
O
r
BA a b
a
3(2a)
3(2a) = 6a
(a) ()a
(2) 根据定义，求作向量(2+3)a和2a +3a (a 为非零向量)，并进行比较。
a
a
a
5a5ar
a
55ara
22ara
a
55aar
22ara
33aar
a
55aar
22ara 33aar
(2 3)ar 2ar 3ar
(
)a
a
a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1）| a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。
∴ AC与 AE 共线．
rr
uuur r r
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作 OA a b,
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r源自文库
a
O
C
r
3b
B
r
2b
A
且有公共点Ａ r