弹性力学 第四章 弹性本构关系
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《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
17.04.2020
8
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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19
§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
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16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
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17.04.2020
3
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
弹性力学_第四章 本构关系
y ν x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
z
z
x
下沿 x 轴的相对伸长，它
由三部分组成，即
y
o
y
z
Chapter 5.1
y
x x x x
x
x
§4-1 本构关系概念
§4-2 广义胡克定律
其中
c11 C11 , c12 C1122 , c14 C1112 , c56 C2331…
即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指
标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的
cmn (m, n＝1~6) 并不是张量。 由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性 材料，独立的弹性常数共有21个。
弹性张量，共有81个分量。
• 弹性张量的Voigt对称性
Cijkl C jikl Cijlk Cklij
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
ij ji
Cijkl kl C jikl kl kl
Cijkl C jikl
kl lk
Cijkl kl Cijlk lk Cijlk kl kl
x x x x
是由于x的作用所产生的相对伸长 其中 x
x
x
E
ν 是由于y的作用所产生的相对缩短 x x E
ν 是由于z的作用所产生的相对缩短 x x
y
z
E
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
弹性力学-本构关系
c12 = c21 ⋯⋯ c56 = c65
∴
σ x c11 c12 σ c22 y σ z = τ xy 对 τ yz τ zx
c13 c23 c33
称
c14 c24 c34 c44
c15 c25 c35 c45 c55
弹性对称
弹性 有 个对 向， 称 向， 对称 向上弹性 性 ， 力 关系 。 称为弹性对称 弹性对称。 称为弹性对称。
弹性
弹性对称
向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向 弹性对称面。 弹性对称方向和 相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴 弹性主轴。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
第四章 本构关系
物体的弹性性质和广义 广义胡克定律 §4-1 物体的弹性性质 广义 §4-2 线弹性材料的本构关系 各向同性线弹性材料的物理方程 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
物体的弹性性质 广义Hooke定律 弹性性质·广义 §4-1 物体的弹性性质 广义 定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： 一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： σ ij = f ( ε ij ) 应力与应变张量均为六个独立分量。 应力与应变张量均为六个独立分量。则 σ x = f1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx )
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 横观各向异性材料 仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 平面为材料的弹性对称面， 轴为弹性主轴。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 平面为材料的弹性对称面 轴为弹性主轴 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 体内一点 的应力和应变 为{σ } 和{ε }。则 则 {σ } = [C ]{ε } 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 其中 为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向， 现将 轴反向，考 轴反向 察其本构关系
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
第4章 弹塑性本构方程
典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。
弹性力学第四章 本构关系
弹性力学第四章 本 构关系
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-1 本构关系概念
在以前章节我们从静力学和几何学观点出发， 得到了连续介质所共同满足的一些方程。显然，仅 用这些方程还不足以解决变形固体的平衡问题，因 为在推导这些方程时，并没有考虑应力和应变的内 在联系，而实际上他们是相辅相成的，对每种材料， 他们之间都有完全确定的关系，这种关系反映了材 料所固有的物理特性。本章就是要建立在弹性阶段 的应力和应变的关系——本构关系。
拉压：2个 剪切：1个
2个
c 4 4c 1 1c 22 /2
金属
Chapter 5.1
第四章 本构关系
§4-1 本构关系概念 §4-2 广义胡克定律 §4-3 应变能和应变余能
§4-3 应变能和应变余能
应变能
如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变 形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将 全部转化为变形位能而储存在弹性体内。
ij ji
Cijkl kl Cjikl kl kl
Cijkl Cjikl
kl lk
C ijkl klC ijlklkC ijlkklkl
下节中将证明 Cijkl Cklij
Cijkl Cjikl
Chapter 5.1
§4-2 广义胡克定律
Cijkl Cjikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当
y νx
其中 是弹性常数，称为泊松比。
Chapter 5.1
§4-1 本构关系概念
线弹性叠加原理
先考虑在各正应力作用
下沿 x 轴的相对伸长，它 y
弹性力学 第四章 本构关系
0 0 0 0
0 0 0 0
σ zz σ xx σ yy σ xy
= ν xσ xx +ν y σ zz
Ey Ez
σ zz
2）各向同性平面应变本构关系
E2 = E3 = E , ν2 = ν3 = ν , G3 = G,
0 1 / E −ν / E −ν / E 0 ε 1 / E −ν / E 0 22 = ε 33 1/ E 0 1 / 2G ε 23 sys. σ 11 σ 22 σ 33 σ 23
5个独立的材料常数：E2 ,ν 2 , E3 ,ν 3 , G3 −( σ ε11 = 22 + E2
ν2
ν3
E3
σ 33 )
σ 22 σ 33 σ 23
ε 22 1/ E2 −ν 3 / E3 0 ε = 1/ E3 0 33 ε 23 sym. 1/ 2G3 σ 22 σ = 33 σ 23
E2 / m E2ν 3 / m 0 sym. E3 / m 0 , m = 1 − E2ν 32 / E3 G3
2 → x,
y (3) 3 → y, 1→ z
εzz =−(
εxx εyy ε xy σxx σ yy σ xy
νx
Ex
σxx +
νy
Ey
5个独立的材料常数： Ex ,ν x , E y ,ν y , G y
σ yy )
0 0 1 / 2 Gy
x(2)
1 / Ex = .. sym
− ν y / Ey 1 / Ey
弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题PPT课件
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
-
zx G
(4-4)
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主- 轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
特例：垂直于x轴的边界上， l= 1，m＝0，
应力边界条件简化为
(x)s Sx,(xy)s Sy
垂直于y轴的边界上，
l=0，m= 1，应力边界条件简化为
(y)s Sy,(yx)s Sx
受力平衡图
即：应力分量边界值等于对应- 面力分量
24
弹性与塑性 第四章 广义胡克定律和弹性力学解题
力学基础
的基本方程与方法
xy x
K
y
0
z z
xz x
yz y
K
z
0
i,jjK j0 (i,jx,y,z)
-
(4-10) (4-10')
16
弹性力学-本构关系
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体 外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导，
ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
线性关系。
称为广义胡克定律的一般形式
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为对称矩 阵，共有21个独立的弹 性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面，则本构关系 还可简化，使弹性常数进一步缩减。
mij
ij
2G
E
ij
1
2
3E
ij
1 2G
ij
1
3E
ij
所以 当 i j 时，因
1 2G
ij
1 2G
mij
1 2G
ij mij
1 2G
sij
eij
1 2G
sij
弹性力学本构关系
量是x=，y=0，且x，y，z均为应力的主方向。若材料为理想塑
性，Poisson比<1/2，单轴拉伸屈服极限为s，试利用Mises屈服 条件求出该材料单元达到屈服时的值。记屈服时的值为0，屈服
后加载使得x=0+d，求z方向的应力增量dz。
解：屈服处于弹性阶段，对于平面应变状态，因此根据虎克定律，有 z=(x+y)= 偏应力分量为 1 1 1 sx= (2)，sy= (1+)，sz= (12)，sxy=syz=szx=0 3 3 3
p 因此， 也是偏张量，即塑性体积是不可压缩的。 d ij
dp与n两者方向一致，则Drucker公设变为 dn 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。
塑性势理论
类比了弹性应变可用弹性势函数对应力微分的表达式，
p dij d
g是塑性势函数。
g ij
•
g=f，相关联的流动法则。塑性应变增量与屈服面正交。 在Drucker公设成立的条件下，显然有g=f
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0 f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0 当应力点位于f1=0上
f1 d d1 ij
p ij
p p (d1p : d2 : d3 ) = (0 d1 d1)
p =ds d ij d ij ij
这是一种理想刚塑性模型。
• 相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增加了一个方程（屈服条件） • 理想弹塑性问题，应在平衡方程＋几何方程＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量dij各分量的比例关系，
由于d未知，不能确定应变增量dij的大小。
第4章 弹塑性本构方程
屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。
a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为
弹性力学第4章—弹性本构关系
将上式代入各向同性材料的广义胡克定律，得到
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
τ yz ⎫ 1 ε x = [σ x − ν (σ y + σ z )], γ yz = ⎪ E G ⎪ τ ⎪ 1 ε y = [σ y − ν (σ x + σ z )], γ xz = xz ⎬ E G⎪ τ xy ⎪ 1 ε z = [σ z − ν (σ x + σ y )], γ xy = ⎪ E G⎭
用张量形式表示为
1 ε ij = [(1 +ν )σ ij −νσ kkδ ij ] E
vEδ ij ε kk E σ ij = ε ij + (1 + v )(1 − 2v ) 1+ v
反之也可以用应变表示应力
第四章结束
ε x' = ε x ,ε y' = ε z ,ε z' = ε y ⎫ γ y ' z ' = −γ yz , γ x ' z ' = −γ xy , γ x ' y ' = γ xz ⎬ ⎭
将它们代入横观各向同性弹性体的广义胡克定律，得到
1 C12 = C13 , C11 = C33 , C55 = (C11 − C12 ) 2 σ x = λθ + 2 με x τ xy = μγ xy ⎫ 所以弹性常数从5个减少到2个 ⎪ σ y = λθ + 2 με y τ yz = μγ yz ⎬ σ z = λθ + 2 με z τ xz = μγ xz ⎪ ⎭
将它们代入正交各向异性弹性体的广义胡克定律，得到
C11 = C22
C13 = C23
C55 = C66
所以弹性常数从9个减少到6个
4.1 广义胡克定律
弹性力学 第四章 弹性本构关系
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3 + C14 e4 + C15e5 + C16 e6
再由 (4.1.3) 式和 (b) 式的第一式σ1' = σ 1 ，可得
C14 = C15 = 0
同理，由 (b ) 式的第二、三两式分别得到
C 24 = C 25 = 0
C34 = C 35 = 0
应有 C64 = C65 =0。 此时弹性常数应从 21 个减去８个为零的常数,应有 13 个。
从数学上理解弹性对称面，是将坐标轴x3 作镜象反射变换，弹性常数应保持不变，即
C mn = Cm 'n' 当坐标系经过镜象变换如图 4.1 后，新老坐标轴之间的方向余弦有如下表：
(4.1.3)
x3
这样，由 和
§4.1 广义 Hooke 定律
设想弹性体中某点的应力状态与应变状态有关，可用下列公式来表示
( ) σ ij = φij ekl
（i ,j = 1,2,3; k,l = 1,2,3）
如果在点ek0l 附近做 Taylor 展开，有
( ) σ ij
=
σ
0 ij
+
∂φij ∂ekl
0
e kl
如果 i、j、k、l 是表示老坐标系的角标，m’、n’、p’、q’表示新系的角标，坐标变换后的 弹性常数用Cm'n'p'q' 表示，根据 (4.1.1a) 式在新系中应有
σ = C e m'n'
m' n' p' q' p'q '
由
σ m 'n' = ν m 'iν n' jσ ij
弹性力学 第四章 应力和应变关系.
第四章应力和应变关系知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系一、内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程,几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的,有应力就有应变;反之,有应变则必有应力。
对于每一种材料,在一定的温度下,应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性,因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态,应力应变关系的实验测试是有困难的,因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理;具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式;各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二、重点1、应变能函数和格林公式;2、广义胡克定律的一般表达式;3、具有一个和两个弹性对称面的本构关系;4、各向同性材料的本构关系;5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形,因此外力在变形过程中作功。
同时,弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系,可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化,因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系,容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。
探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
第四章 弹性变形、塑性变形、本构方程
弹性变形特点: ⑴ 弹性变形特点:
弹性变形是可逆的。物体在变形过程中， ① 弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内， 的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸 载时，弹性应变能将全部释放出来， 载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得 以完全恢复； 以完全恢复； 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， ② 无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力态， 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 ③ 对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。 因此，应力与应变是一一对应的关系。 因此，应力与应变是一一对应的关系。
◆ 理想线性强化刚塑性力学模型
理想线性强化刚 塑性力学模型， 塑性力学模型，其 应力应变关系的数 学表达式为： 学表达式为：
σ = σ s + E1ε
弹塑性力学
(当ε ≥ 0时)
（4--5）
常用简化力学模型（ §4-2 常用简化力学模型（续7）
◆ 幂强化力学模型 为了避免在 ε = ε s 处 的变化， 的变化，有时可以采用幂 强化力学模型。 强化力学模型。当表达式 中幂强化系数 n 分别取 0 或 1 时，就代表理想弹塑 性模型和理想刚塑性模型。 性模型和理想刚塑性模型。 其应力应变关系表达式为： 其应力应变关系表达式为：
弹塑性力学
弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（ ） §4-1 弹性变形与塑性变形的特点、塑性力学的附加假设（续3）
塑性变形特点: ⑵ 塑性变形特点:
塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆， ① 塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 定要耗散能量（称耗散能或形变功）。 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。 ② 在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方 程的非线性，所以不能使用叠加原理。 程的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系， 规律不同， 应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即 应力与相应的应变不能唯一地确定， 应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径 （或加载历史）。 或加载历史）。 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， ③ 在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区， 有的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸 载都服从广义虎克定律。但在塑性区， 载都服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规 而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。 律，而在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 的变化，两区域的分界面也会产生变化。 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 ④ 依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。 弹塑性力学
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123 1’ 1 0 0 2’ 0 1 0 3’ 0 0 -1
ei 'j ' = νi 'kν e j'l kl
0
x1 x1' x3'
x2 x2'
图 4.1
可得
σ i' j ' = ν i'kν j 'lσ kl
e1' = e1，e2' = e2，e3' = e3，e4' = −e4，e5' = −e5，e6' = e6
第四章 弹性本构关系(Hooke 定律)
Robert Hooke 1676 年提出字谜 “ ceiiinosssttuv ”，1678 年他公布了结果为 “Ut tensio sic vis”——有多大的伸长就有多大的力，换句话说就是变形与力成正比。在小变形的情况下他 建立了应力与应变之间的关系，反映了材料弹性性质的规律，后人在其基础上发展、完善了 并被称为广义 Hooke 定律的规律，这是本章讨论的中心内容。
39
第四章 弹 性 本 构 关 系
①正应力σ1，σ 2，σ 3 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变。从(4.1.2b)式可见，与x3 轴
有关的剪应变是 e4 和 e5 ，正应力若对其没影响，只有 C14 = C15 = C24 = C25= C34 = C35 = 0。
②对称面中的剪应力σ 6 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变，同样从 (4.1.2b) 式可见，
(2) Cijkl 不全独立
由于 ① ekl = elk ，故有Cijkl = Cijlk ，弹性常数从 81 个减去 27 个相同的常数，应有 54 个；
②σ ij = σ ji ，故有Cijkl = C jikl ，弹性常数由 54 个减去 18 个新的相同常数，应有 36 个；
38
第四章 弹 性 本 构 关 系
应有 C64 = C65 =0。 此时弹性常数应从 21 个减去８个为零的常数,应有 13 个。
从数学上理解弹性对称面，是将坐标轴x3 作镜象反射变换，弹性常数应保持不变，即
C mn = Cm 'n' 当坐标系经过镜象变换如图 4.1 后，新老坐标轴之间的方向余弦有如下表：
(4.1.3)
x3
这样，由 和
(4.1.1a) (4.1.1b)
展开写，成为 (4.1.1c) 式。(4.1.1a) 式中的Cijkl 是弹性常数，共 81 个。这些常数的存在，反
映了材料的各向异性性质，物理上理解为，正应力不仅引起正应变也会引起剪应变；剪应力 不仅引起剪应变也会引起正应变。下面我们将进一步分析这些弹性常数：
第四章 弹 性 本 构 关 系
σ 4' = σ 4 + θ (σ 3 − σ 2 )
根据 Hooke 定律，
[ ( )] σ 4' = C4'4'e4' = C4'4' e4 + 2θ e3 − e2
由横观各向同性，要求C44 = C4'4' 。比较这两式有，
σ 3 − σ 2 = 2C44 (e3 − e2 )
42
第四章 弹 性 本 构 关 系
(a)
及
σ1' = σ 1，σ ‘2 = σ 2，σ‘3 = σ 3，σ 4’= −σ 4，σ‘5 = −σ 5，σ 6‘ = σ 6
(b)
由 (4.1.2b) 式，有
σ1' = C1'1'e1' + C1'2'e2' + C1'3'e3' + C1'4'e4' + C1'5'e5' + C1'6'e6'
如果 i、j、k、l 是表示老坐标系的角标，m’、n’、p’、q’表示新系的角标，坐标变换后的 弹性常数用Cm'n'p'q' 表示，根据 (4.1.1a) 式在新系中应有
σ = C e m'n'
m' n' p' q' p'q '
由
σ m 'n' = ν m 'iν n' jσ ij
和
ekl = ν ν kp' e lq' p'q'
如考虑按下表更换 (4.1.1b) 式各项的角标，可将 (4.1.1a) 式简写成 (4.1.2a) 式
i j,kl
11
22
33
23 32
31 13
12 21
m,n
1
2
3
4
5
6
即
记住此时
σ m = C mnen
并且
σ1 = σ11，σ 2 = σ 22，σ 3 = σ 33，σ 4 = σ 23，σ 5 = σ 31，σ 6 = σ12；
再从 (4.1.2a) 和 (4.1.4 ) 式计算出
σ 3 − σ 2 = (c22 − c23 )(e3 − e2 )
相较后得
C 44
=
C 22
− C 23 2
这证明了（4.1.5）式的成立。
若将x2 轴转至x3 轴成x2' 轴，此时x3 轴转至x2 轴的负方向成x3' 轴，如图 4.3，其方向余 弦之间关系如下表：
C1112 C 2212 C 3312 C 2312 C 3112 C1212 C 3212 C1312 C 2112
C1132 C2232 C3332 C2332 C3132 C1232 C3232 C1332 C2132
C1113 C 2213 C3313 C 2313 C3113 C1213 C3213 C1313 C 2113
同样，由张量坐标变换公式可得
e1' = e1，e2' = e2 +θ e 4，e3' = e3 − θ e4
θ x2
x2'
θ
x3'
x3
图 4.2
e4' = e4 + 2θ (e3 − e2 )
根据 (4.1.2a) 和 (4.1.4) 式可求得
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3
C11 C12 C13 C12 C 22 C 23
0 0
0 0
0 0
[ ]C
=
C13 0
C 23 0
C33 0
0 C 44
0 0
0
0
0 0
0 0
0 0
0 0
C55 0
0 C66
(4.1.4)
如果考虑平面正交各向异性，例如去掉与x3 轴有关的常数，即 C13，C23，C33，C44，C55， 使独立常数成为 4 个，即 C11，C12，C22，C66。
σ11
σ
22
C1111 C2211
σ σσ σ σ σ σ
33 23 31 12 32 13 21
=
CC32331111 C3111 C1211 C3211 C1311 C2111
C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222 C3222 C1322 C2122
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3 + C14 e4 + C15e5 + C16 e6
再由 (4.1.3) 式和 (b) 式的第一式σ1' = σ 1 ，可得
C14 = C15 = 0
同理，由 (b ) 式的第二、三两式分别得到
C 24 = C 25 = 0
C34 = C 35 = 0
41
第四章 弹 性 本 构 关 系
C 44
=
C 22
− C 23 2
(4.1.5)
设想x2 与 x3 轴绕x1 轴作微小转动，其转角为θ ，变换成新坐标系0 − x1', x2' , x3' ，它们之间
的方向余弦关系由下表来说明：
12
3
1’ 1 0
0
2’ 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
θ
3’ 0 -θ 1
x1 x1' o
C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C3233 C1333 C2133
C1123 C 2223 C 3323 C 2323 C 3123 C1223 C 3223 C1323 C 2123
C1131 C 2231 C3331 C 2331 C3131 C1231 C3231 C1331 C 2131
C1121 e11
C
2221
e22
C 3321 C 2321 C 3121 C1221 C 3221 C1321 C 2121
eeeeeee13132323221331
(4.1.1c)
(1) Cijkl 是四阶张量
C12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 62
C13 C23 C33 C43 C53 C63
C14 C24 C34 C44 C54 C64
C15 C 25 C35 C 45 C55 C 65
C16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66
eeeeee654321
同理，由 (b) 式第五式可得，C56 = 0 。 这证明了当材料有一个弹性对称面时其弹性常数应由 21 个减去 8 个成为 13 个。