弹性力学 第四章 弹性本构关系

123 1’ 1 0 0 2’ 0 1 0 3’ 0 0 -1
ei 'j ' = νi 'kν e j'l kl
0
x1 x1' x3'
x2 x2'
图 4.1
可得
σ i' j ' = ν i'kν j 'lσ kl
e1' = e1，e2' = e2，e3' = e3，e4' = −e4，e5' = −e5，e6' = e6
e1 = e11，e2 = e22，e3 = e33，e4 = 2e23，e5 = 2e31，e6 = 2e12 。 展开写为

σ σ σ σ σ σ
1 2 3 4 5 6

=
C11 C 21
C C
31 41
C
51
C 61
应有 C64 = C65 =0。 此时弹性常数应从 21 个减去８个为零的常数,应有 13 个。
从数学上理解弹性对称面，是将坐标轴x3 作镜象反射变换，弹性常数应保持不变，即
C mn = Cm 'n' 当坐标系经过镜象变换如图 4.1 后，新老坐标轴之间的方向余弦有如下表：
(4.1.3)
x3
这样，由 和
第四章 弹性本构关系(Hooke 定律)
Robert Hooke 1676 年提出字谜 “ ceiiinosssttuv ”，1678 年他公布了结果为 “Ut tensio sic vis”——有多大的伸长就有多大的力，换句话说就是变形与力成正比。在小变形的情况下他 建立了应力与应变之间的关系，反映了材料弹性性质的规律，后人在其基础上发展、完善了 并被称为广义 Hooke 定律的规律，这是本章讨论的中心内容。
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第四章 弹 性 本 构 关 系
C 44
=
C 22
− C 23 2
(4.1.5)
设想x2 与 x3 轴绕x1 轴作微小转动，其转角为θ ，变换成新坐标系0 − x1', x2' , x3' ，它们之间
的方向余弦关系由下表来说明：
12
3
1’ 1 0
0
2’ 0 1
θ
3’ 0 -θ 1
x1 x1' o
(2) Cijkl 不全独立
由于 ① ekl = elk ，故有Cijkl = Cijlk ，弹性常数从 81 个减去 27 个相同的常数，应有 54 个；
②σ ij = σ ji ，故有Cijkl = C jikl ，弹性常数由 54 个减去 18 个新的相同常数，应有 36 个；
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第四章 弹 性 本 构 关 系
σ11
σ
22

C1111 C2211
σ σσ σ σ σ σ
33 23 31 12 32 13 21

=
CC32331111 C3111 C1211 C3211 C1311 C2111
C1122 C2222 C3322 C2322 C3122 C1222 C3222 C1322 C2122
σ 4' = σ 4 + θ (σ 3 − σ 2 )
根据 Hooke 定律，
[ ( )] σ 4' = C4'4'e4' = C4'4' e4 + 2θ e3 − e2
由横观各向同性，要求C44 = C4'4' 。比较这两式有，
σ 3 − σ 2 = 2C44 (e3 − e2 )
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第四章 弹 性 本 构 关 系
§4.1 广义 Hooke 定律
设想弹性体中某点的应力状态与应变状态有关，可用下列公式来表示
( ) σ ij = φij ekl
（i ,j = 1,2,3; k,l = 1,2,3）
如果在点ek0l 附近做 Taylor 展开，有
( ) σ ij
=
σ
0 ij
+

∂φij ∂ekl
0
e kl
Hale Waihona Puke Baidu
如果 i、j、k、l 是表示老坐标系的角标，m’、n’、p’、q’表示新系的角标，坐标变换后的 弹性常数用Cm'n'p'q' 表示，根据 (4.1.1a) 式在新系中应有
σ = C e m'n'
m' n' p' q' p'q '
由
σ m 'n' = ν m 'iν n' jσ ij
和
ekl = ν ν kp' e lq' p'q'
C11 C12 C13 C12 C 22 C 23
0 0
0 0
0 0

[ ]C
=

C13 0
C 23 0
C33 0
0 C 44
0 0
0

0

0 0
0 0
0 0
0 0
C55 0
0 C66

(4.1.4)
如果考虑平面正交各向异性，例如去掉与x3 轴有关的常数，即 C13，C23，C33，C44，C55， 使独立常数成为 4 个，即 C11，C12，C22，C66。
③假设应变能密度函数U 0 存在（见§4.2）。当应力与应变呈线性关系时，
故应有
1
1
1
U 0 = 2 σ ij eij = 2 Cijkl ekl eij = 2 C klij eij ekl
C ijkl = C klij ，
从弹性常数矩阵看相对对角线具有对称性，这样从 36 个常数还应去掉 15 个相同的常数，应 为 21 个。
− ek0l
+L
根据自然状态假设，当 ek0l
为零时，σ
0 ij
也为零，则有
σ ij
=

∂φ ij ∂e kl
ekl 0
+L
如变形很小可略去高次小量，并令
则上式成为
C ijkl
=

∂φ ij ∂e kl
0
σ ij = C ijkl ekl
或用矩阵来表示，
{σ }= [C]{e}
同理，由 (b) 式第五式可得，C56 = 0 。 这证明了当材料有一个弹性对称面时其弹性常数应由 21 个减去 8 个成为 13 个。
(4) 正交各向异性
当有两个正交的弹性对称面，根据上述一个弹性对称面的分析，这时独立常数应由上述
的 13 个再减去４个，即 C16，C26，C36和C45 应为零，成为９个。同时与这两个弹性对称 面正交的第三个面自然也是弹性对称面，具有这种性质称为正交各向异性，其系数矩阵可表 示成：

(4.1.2a) (4.1.2b)
(3) 弹性对称面
当各向异性弹性体，具有对称的内部结构时，会呈现对称的弹性性质。（１）设想它有一 个对称面，如果我们取与其垂直的轴(称为材料的弹性主轴)，作为 Descartes 坐标系的x3 轴， 即 x1 0x2 坐标面为对称面。从物理上理解这种材料性质的对称性，可通俗地解释成：
σ ν ν ν ν ν ν = C e = C e m'n'
m 'i n' j ijkl kl
m 'i n' j p'k q' l ijkl p'q'
两式相较后，得
ν ν ν ν C = C m'n'p'q'
m' i n' j p' k . q' l ijkl
符合张量的解析定义，Cijkl 为四阶张量。
再从 (4.1.2a) 和 (4.1.4 ) 式计算出
σ 3 − σ 2 = (c22 − c23 )(e3 − e2 )
相较后得
C 44
=
C 22
− C 23 2
这证明了（4.1.5）式的成立。
若将x2 轴转至x3 轴成x2' 轴，此时x3 轴转至x2 轴的负方向成x3' 轴，如图 4.3，其方向余 弦之间关系如下表：
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3 + C14 e4 + C15e5 + C16 e6
再由 (4.1.3) 式和 (b) 式的第一式σ1' = σ 1 ，可得
C14 = C15 = 0
同理，由 (b ) 式的第二、三两式分别得到
C 24 = C 25 = 0
C34 = C 35 = 0
C1133 C2233 C3333 C2333 C3133 C1233 C3233 C1333 C2133
C1123 C 2223 C 3323 C 2323 C 3123 C1223 C 3223 C1323 C 2123
C1131 C 2231 C3331 C 2331 C3131 C1231 C3231 C1331 C 2131
(5) 各向同性
在正交各向异性的基础上，我们先来分析横观各向同性，例如从x1 轴看x2 0x3 坐标平面 的点在这平面内不同方向上的性质是相同的，这样在 (4.14) 式中与x2，x3 轴有关的弹性系 数应该相同，于是
C 22 = C 33，C12 = C13，C 55 = C66 这时独立常数成为 6 个，但实际上正确的答案应是５个。还需从数学上证明
同样，由张量坐标变换公式可得
e1' = e1，e2' = e2 +θ e 4，e3' = e3 − θ e4
θ x2
x2'
θ
x3'
x3
图 4.2
e4' = e4 + 2θ (e3 − e2 )
根据 (4.1.2a) 和 (4.1.4) 式可求得
σ1 = C11 e1 + C12 e2 + C13 e3
C1121 e11
C
2221
e22

C 3321 C 2321 C 3121 C1221 C 3221 C1321 C 2121
eeeeeee13132323221331

(4.1.1c)
(1) Cijkl 是四阶张量
(4.1.1a) (4.1.1b)
展开写，成为 (4.1.1c) 式。(4.1.1a) 式中的Cijkl 是弹性常数，共 81 个。这些常数的存在，反
映了材料的各向异性性质，物理上理解为，正应力不仅引起正应变也会引起剪应变；剪应力 不仅引起剪应变也会引起正应变。下面我们将进一步分析这些弹性常数：
第四章 弹 性 本 构 关 系
及
σ1' = C1'1'e1' + C1'2'e2' + C1'3'e3'
由于x1 轴与x1' 重合，显然有σ1 = σ1' ，因而从
导得
σ1' = C11e1 + C12 e2 + θ e4 + C13 e3 − θ e4



C12 = C13 再由，应力张量坐标转换公式得
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第四章 弹 性 本 构 关 系
再由
σ 4' = C1'4'e1' + C2'4'e2' + C3'4'e3' + C 4'4'e4' + C 5'4'e5' + C 6'4'e6'
σ 4 = C14e1 + C 24e2 + C 34e3 + C44 e4 + C 54e5 + C64 e6
由 (b) 式的第四式σ 4' = −σ 4 ，可得，C46 = 0
C12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 62
C13 C23 C33 C43 C53 C63
C14 C24 C34 C44 C54 C64
C15 C 25 C35 C 45 C55 C 65
C16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66
eeeeee654321
如考虑按下表更换 (4.1.1b) 式各项的角标，可将 (4.1.1a) 式简写成 (4.1.2a) 式
i j,kl
11
22
33
23 32
31 13
12 21
m,n
1
2
3
4
5
6
即
记住此时
σ m = C mnen
并且
σ1 = σ11，σ 2 = σ 22，σ 3 = σ 33，σ 4 = σ 23，σ 5 = σ 31，σ 6 = σ12；
(a)
及
σ1' = σ 1，σ ‘2 = σ 2，σ‘3 = σ 3，σ 4’= −σ 4，σ‘5 = −σ 5，σ 6‘ = σ 6
(b)
由 (4.1.2b) 式，有
σ1' = C1'1'e1' + C1'2'e2' + C1'3'e3' + C1'4'e4' + C1'5'e5' + C1'6'e6'
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第四章 弹 性 本 构 关 系
①正应力σ1，σ 2，σ 3 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变。从(4.1.2b)式可见，与x3 轴
有关的剪应变是 e4 和 e5 ，正应力若对其没影响，只有 C14 = C15 = C24 = C25= C34 = C35 = 0。
②对称面中的剪应力σ 6 不会引起与x3 轴方向有关的剪应变，同样从 (4.1.2b) 式可见，
C1112 C 2212 C 3312 C 2312 C 3112 C1212 C 3212 C1312 C 2112
C1132 C2232 C3332 C2332 C3132 C1232 C3232 C1332 C2132
C1113 C 2213 C3313 C 2313 C3113 C1213 C3213 C1313 C 2113