第四讲 单变量的描述统计(2)-集中趋势分析

Md
50% 50%
2、主要应用于定序变量，也可用于定距 、主要应用于定序变量， 变量，但不可用于定类变量。 变量，但不可用于定类变量。
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（1）未分组数据求中位数： ）未分组数据求中位数： Md位置 位置= n + 1 位置 2 （2）中位数 中间位置的值 ）中位数=中间位置的值 注意：先找位置， 注意：先找位置，再找中位数 将各个个案由低至高排列起来， 将各个个案由低至高排列起来，居序列中央位 由低至高排列起来 置的个案值就是中位值。 置的个案值就是中位值。
中位值（ ★ 中位值（Median)——定序层次 定序层次 均值（ ★ 均值（Mean) ——定距层次 定距层次
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一、众数（mode） 众数（ ） 1、出现频次最多的变量值； 、出现频次最多的变量值； 2、众数的不唯一性； 、众数的不唯一性； 3、主要应用于定类变量，当然也可以 、主要应用于定类变量， 应用于定序和定距变量
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）、个案数为奇数 （1）、个案数为奇数 ）、
户人家的人数为： ， ， ， 【例1】：甲地的 户人家的人数为：2，4，3， 】 甲地的5户人家的人数为 6，8，求中位值。 ， ，求中位值。 解：Md的位置＝
N＋1 2
＝
5＋1 2
＝3
中位值Md=4
排序2， ， ， ， 排序 ，3，4，6，8
数据类型和所适用的集中趋势测量值 数据类型 测度值 定类 众值▲ 众值▲ ―― ―― 定序 众值 中位值▲ 中位值▲ ―― 定距 众值 中位值 均值▲ 均值▲
注：▲ 表示该数据类型最适合用的测度值
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众数、 众数、中位数和平均值的比较
众数是一组数据中出现次数最多的数值 众数是一组数据中出现次数最多的数值。 但在社会调查中众数的代表性较小
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5, 6，8 ，
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（3）频数分布表 ）
【例3】根据下表求中位值。
解：Md位置 ＝
成 绩 甲 乙 丙 丁 N
频 累计频次 次 cf 85 500 195 415 210 220 10 10 500 500
N＋1 2
500＋1 ＝ 2
＝250.5
中位值Md＝乙
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2、分组数据： 、分组数据：
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单变量描述统计
在统计分析中， 在统计分析中，是否可以找出一个有代表性的数值来说 明变量的分布，反映资料的集中或差异情况？ 明变量的分布，反映资料的集中或差异情况？ 集中趋势测量，就是以一个数值来代表变量的资料分布， 集中趋势测量，就是以一个数值来代表变量的资料分布， 反映的是变量值向中心值聚集的程度， 反映的是变量值向中心值聚集的程度，也就是说以这一 个数值（或称典型值） 个数值（或称典型值）来估计或预测每一个研究对象的 数值时发生的错误总数在理论上是最小的。 数值时发生的错误总数在理论上是最小的。 离散趋势测量（ 离散趋势测量（Measures of dispersion）就是用一 ） 个值表示数据之间的差异情况。 个值表示数据之间的差异情况。 离散趋势测量法和集中趋势测量法具有互补作用。 离散趋势测量法和集中趋势测量法具有互补作用。在进 行统计分析时，既要测量变量的集中趋势， 行统计分析时，既要测量变量的集中趋势，也要测量离 散趋势。 散趋势。
211 369 510 550
475 339 181 40
总数
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从分布来看， 从分布来看，众数是具有明显集中趋势点 的数值， 的数值，一组数据分布的最高峰点所对应 的数值及为众数。
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二、中位值（Median） 中位值（ ）
1、把一组数据按顺序排列，处于中间位 、把一组数据按顺序排列，处于中间位 按顺序排列 的那个数值就是中位值。 置的那个数值就是中位值。
∑ fx X=
n
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未分组数据加权平均数
【例6】调查某年 】调查某年120名学 名学 生的年龄，结果如下表， 生的年龄，结果如下表， 求平均年龄。 求平均年龄。
年龄 17 18 19 20 21 N 人数 20 25 35 20 20 120
解：根据公式得
∑ X = ∑ xf X＝ n n 17 × 20 + L + 21× 20 = 120
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中位数和平均数的比较
计算平均数时用到数据中所有的数值， 计算平均数时用到数据中所有的数值，而求中位数时 值用到数值的相对位置， 值用到数值的相对位置，平均数比中位数利用了更多 的有关数据的信息 平均数容易受到极端值的影响，而中位数则不会受这 平均数容易受到极端值的影响， 种影响。当样本中数据值的分布是高度倾斜的， 种影响。当样本中数据值的分布是高度倾斜的，中位 数一般比平均数更适合一些 如100，200，400，500，600， ， ， ， ， ， 均值为360，中位数为 均值为 ，中位数为400 100，200，400，500，1000， ， ， ， ， ， 均值为440，中位数为 均值为 ，中位数为400
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1、未分组数据 、 （1）简单原始资料求均值 ）
X =
∑x
n
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均值的计算——未分组数据
【例5】某班10名学生年龄 分别为20、21、19、19、 20、20、21、22、18、 20岁，求他们的平均年 龄。 解：根据平均数的计算 公式有：
X 200 X＝ = = 20岁 N 10
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对随机抽样调查来说， 对随机抽样调查来说，平均数比中位数 更稳定， 更稳定，它随样本的变化比较小 平均数比中位数更容易进行算术运算。 平均数比中位数更容易进行算术运算。
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众数、中位数、均值比较 众数、中位数、均值比较2 但两种情况不宜用均值： 但两种情况不宜用均值： (1)分组数据的极端组没有组限。 (1)分组数据的极端组没有组限。 分组数据的极端组没有组限 (2)个别数值非常特殊。 (2)个别数值非常特殊。 个别数值非常特殊
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＝18.9岁
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2、分组资料求均值：根据组中值求均值 、分组资料求均值：
先求出组中值 组中值=（上限+下限 下限） 组中值 （上限 下限） /2 计算组中值的和 计算分组数据的均值
∑fx X=
159 = = 9.4 n 17
m
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众值、中位数和均值的比较 众值、中位数和均值的比较1
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例1：非连续取值 ：
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例2 分组数据
收入(元 收入 元)
500-699 700-899 900-1099 1100-1299 1300-1499 1500-1699
f
10 65
Cf↑
10 75
Cf↓
550 540
126 158 141 40 550
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众数的特点： 众数的特点：不唯一性
原始数据： 、 、 、 、 无众值） 原始数据：4、5、7、8、19（无众值） 原始数据： 、 、 、 、 、 一个众值） 原始数据：4、5、7、5、5、16（一个众值） 原始数据： 、 、 、 、 、 两个众值） 原始数据：4、4、5、7、7、9（两个众值）
N－cf ↑ 2 Md＝L＋ n w
50−30 = 300+ ×100 40
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=350
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注意： 注意：
分组数据spss统计时的中位数表示的只是 统计时的中位数表示的只是 分组数据 中位数的位置
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三、均值
1、均值的定义：总体各单位取值之和除 、均值的定义： 以总体单位数目。 以总体单位数目。 2、仅适用于定距变量，不适用于定类和 、仅适用于定距变量， 定序； 定序；
∑
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）、加权平均数 （2）、加权平均数 ）、 某个变项值重复出现多次， 某个变项值重复出现多次，可以先统计每 个值（ ）的次数（ ）， ），再求次数与相 个值（x）的次数（f），再求次数与相 应变量值的乘积（ ）， ），利用各乘积之 应变量值的乘积（fx），利用各乘积之 和求出均值。（ 也称为权重） 。（f也称为权重 和求出均值。（ 也称为权重） 公式：
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集中趋势测量/分析 集中趋势测量 分析
集中趋势测量： 集中趋势测量：用某一个典型的变量值或特征值 来代表全体变量的问题， 来代表全体变量的问题，这个典型的变量值或 特征值就称作集中值或集中趋势。 特征值就称作集中值或集中趋势。 众值（ ★ 众值（Mode) ——定类层次 定类层次
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（2）个案数为偶数 ）
户人家的人数为： ， ， ， ， 【例2】：乙地的 户人家的人数为：2，4，3，6， 】 乙地的6户人家的人数为 8，5求中位值。 求中位值。 ， 求中位值 解：Md的位置＝
N＋1 2
＝
6＋1 ＝3.5 2
2
Md= 4 + 5 =4.5
排序2， ， ， 排序 ，3，4，
第四讲：单变量描述统计（ ） 第四讲：单变量描述统计（2）
集中趋势测量 ＆ 离散趋势测量
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知识点： 知识点： 两个维度——七个统计量数 两个维度 七个统计量数
数据的简化
集中趋势 离散程度
众众 均众
中 ห้องสมุดไป่ตู้中
异 众异异
方 四 方方方四
四 四中四
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学习要求
1、集中趋势各测量法的计算方法； 、集中趋势各测量法的计算方法； 2、集中趋势各测量法的特点和应用； 、集中趋势各测量法的特点和应用； 3、离散程度各测量法的计算方法； 、离散程度各测量法的计算方法； 4、离散程度各测量法的特点与应用； 、离散程度各测量法的特点与应用；
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例：分组数据： 分组数据：
首先将各组的次数累加起来 求中位数的位置： 求中位数的位置： Md位置 位置=n/2 =212/2=106 第106个位置在 25-35之间 个位置在 之间
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分组变量看作是一组连续的数值
10 25 94 12 ? 106 35 124
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【例4】： 】 根据下表数据求中位值。 根据下表数据求中位值。
收入(元 ) 职工数 Cf 收入 元 － 100－200 10 10 － 200－300 20 30 － 300－400 40 70 － 400－500 30 100 合计 N 100
位置＝ ； 解：Md位置＝50； 位置 从累积频数cf栏找到中位数位 从累积频数 栏找到中位数位 置所在组为“ 置所在组为“300－400” － 引入公式： 引入公式：
n − cf 2 Md = L + w f
L：中位数组的下限 ： f：中位数组的频数 ： w：中位数组的组距 ： （U-L） ） cf：低于中位数组下 ： 限的累加次数 n：全部个案数 ： Md位置 位置=n/2 （上 位置 下各50%的位置） 的位置） 下各 的位置