相似三角形中的辅助线专题 教师版

相似三角形中的辅助线

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延

长线与BC延长线相交于F ，求证：BF

CF

BD

CE

=

B

D

A C

F

E

例2. 如图，△ABC中，AB

二、作垂线

3. 如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为

E、F，求证：2

AC

AF

AD

AE

AB=

⋅

+

⋅。

A

B C

F

D

E 三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例6. 如图，Rt ∆ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=CF •BF

四、作中线 例7 如图，ABC ∆中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求AC 。

五、综合练习题

1、在△ABC 中，D 为AC 上的一点，E 为CB 延长线上的一点，BE=AD ，DE 交AB 于F 。

求证：EF ×BC=AC ×DF

2、ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ，P 是AB 上一点，Q 是PC 上一点（不是中点），MN 过Q 且MN ⊥CP ，交AC 、BC 于M 、N ，求证：CN CM PB PA ::=。

3、. 如图，中，，，那么吗？试说明∆ABC AB AC BD AC BC CA CD =⊥=⋅22理由？（用三种解法）

相似三角形中的辅助线（教师版）

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线

例1. 如图，∆ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延

长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BD

CE

=

B

G D

A C

F

E

例1图 例2图 例3图

证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G 。

小结：本题关键在于AD ＝AE 这个条件怎样使用。

例2. 如图，△ABC 中，AB

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然

AB DF AC EF AB AC EF

DF

⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。

∴=⋅=⋅EM AB EC

AC EM AC AB EC 即，

∴=AB AC EM EC

同理可得∆∆EMF DBF ~

∴

=EF DF EM

BD

， 又， BD EC EM EC EM BD =∴

=（为中间比），EM

BD

∴

=AB AC EF

DF

， ∴⋅=⋅AB DF AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N ，

则有，，∆∆BDN BAC ~

∴

=⋅=⋅BD AB DN

AC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=

AB AC BD

DN 同理，∆∆ECF DNF ~ ∴==EC DN EF DF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN EC

DN （为中间比），

∴=∴⋅=⋅AB AC EF DF AB DF AC EF ， 二、作垂线

3. 如图从 ABCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线CE 和CF ，垂足分别为

E 、

F ，求证：2AC AF AD AE AB =⋅+⋅。

证明：过B 作BM ⊥AC 于M ，过D 作DN ⊥AC 于N

∴ ABM ∆∽ACE ∆

∴ AC

AB AE AM =

∴ AM AC AE AB ⋅=⋅（1） 又 ADN ∆∽ACF ∆

∴ AC

AD AF AN =

∴ AN AC AF AD ⋅=⋅（2） （1）+（2）)(AN AM AC AN AC AM AC AF AD AE AB +=⋅+⋅=⋅+⋅ 又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=CM

∴ 2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅

三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

分析：因为问题涉及四边形AHCD ，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA 、CD 交于点P

∵CH ⊥AB ，CD 平分∠BCD ∴CB=CP ，且BH=PH