求二面角的五种方法

求二面角的五种方法

一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小.

例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小.

例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD ,

AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值.

例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2

π), ∠CSB =β(0<β<

2

π

), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证：θ=π-arccos(cos α·cot β).

二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.

例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______；

⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______.

例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小.

三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角.

例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.

例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所

成二面角的大小.

四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.

例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.

例9二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a,

B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角, 求面积△BCD的最大

值, 并求此时二面角M-CD-N的大小.

五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角θ, 满足S0=S cosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.

例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD, 若AB=PA, 则平面ABP与

平面CDP所成的二面角为( )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

例11 P是正方形ABCD所在平面外一点, △PAB是正三角形, 且平面PAB⊥平

面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.

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