线性代数第三章-练习题

例2
1997.6 一(6) 4分
设m个方程n个未知数的非齐次线性方程组为 Ax＝b，且rankA＝r，则下列结论中正确的是 (d) (a) (b) (c) (d) r=n时，Ax＝b有唯一解； m=n时， Ax＝b有唯一解； r<n时，Ax＝b有无穷多解； r=m时，Ax＝b有解.
三、含参数线性方程组求解
类似地, 用n阶初等矩阵E n ( i , j )右乘矩阵A, 相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把A的 第i列与第j列对调(c i c j ).
（２）数乘：以数 k 非零）乘某行（列）， 得初等矩阵E ( i ( k ))．
以 E m ( i ( k ))左乘矩阵A, 相当于以数k乘A的 第i行( r i k ); 以 E n ( i ( k ))右乘矩阵A, 相当于以数k乘A的 第i列(c i k ).
11 初等矩阵与初等变换的关系
定理 设 A是一个 m n矩阵, 对A施行一次初等行
变换, 相当于在A左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; 对A施行一次初等列变换 , 相当于在A的右边乘以 相应的n阶初等矩阵.
定理 设A为可逆矩阵, 则存在有限个初等矩阵P 1 ,
P 2 , , P l , 使A P 1 P 2 P l . 推论 m n矩阵A ~ B的充分必要条件是: 存在m
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如
1 0 0 0
4 1 c3 c4 1 1 0 3 c 4 c 1 c 2 0 0 0 1 3 4 3 3 0 c 5 c 1 c 2 c 3 0 0 0 0 0
习
题
课
1 矩阵的秩
定义 在m n矩阵A中, 任取k行和k列, 位于这些
行列交叉处的k 2 个元素, 不改变它们在A中所处 的位置次序而得到的 k阶行列式, 称为矩阵A的 k阶子式.
定义 设在矩阵A中有一个不等于 0的r阶子式D,
且所有r 1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式 , 数r称为矩阵A 的秩, 记作R( A).并规定零矩阵的秩等于 0.
2 初等变换的定义
对调
对调矩阵的两行 (列), 记作 r i r j (c i c j );
数乘
以数k 0乘某一行(列)中的所有元素 , 记作 r i k (c i k ); 倍加 把某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)
对应的元素上去 , 记作 r i k r j (c i k c j ).
系数矩阵或右端项含有一个(或多个)参数的线 性方程组称为含参数线性方程组.求解含参数线性 方程组时常采用一下办法：
ˆ 通过初等行变换化为阶梯 ⑴ 对方程组的增广矩阵 A 型矩阵，然后根据 rank A 是否成立，讨论参数 rank B 在什么情况下有解？无解？有解时再求出一般解.
⑵ 当方程个数与未知数个数相同的时候，可利用克 A det 莱姆法则，即计算系数行列式 det对使得 的A 0 参数值，方程组有唯一解；而对于使得 det A 的参数 0 值，分别列出增广矩阵求解. 注：最好采用方法2求解.
10 初等矩阵
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵．
（１）对调：对调两行（列），得初等矩 阵 E (i , j ) ．
用m阶初等矩阵E m ( i , j )左乘A (a ij )m n , 相 当于对矩阵A施行第一种初等行变换: 把A的第i 行与第j行对调( r i r j ).
r i k r j (c i k c j )
Baidu Nhomakorabea
3 矩阵的等价
如果矩阵A经有限次初等变换变成 矩阵B, 就 称矩阵A与B等价, 记作A B或 A B
反身性
对称性
A A;
若A B, 则B A;
若A B, B C , 则A C.
传递性
４ 行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
定理3.5 1. 2. 3.

ˆ ( 必有rankA rankA ˆ ) rankA rankA ˆ rankA rankA ˆ n (未知数个数) rankA rankA ˆ n (未知数个数) rankA rankA
对齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解 有无穷多组解 rankA n 只有零解 rankA n （注：A未必为方阵） 当m n时 有非零解（ rankA min( m, n ) n）
ˆ rank A 2，方程组无解； 所以当 b 1时， rank A ˆ 2 3，方程组有无穷 而当 b 1时， rank A rank A
多解,其同解方程组为
x1 1 x3 x4 x2 1 2 x3 2 x4
令
x3 k1 x4 k 2
所以
⑴ 当 a 1时，方程组有唯一解； ⑵ 当 a 1时， 1 1 0 1 1 1 2 2 1 0 0 1 ˆ A 0 0 1 2 2 b 0 3 2 1 1 1
1 1 0 0
1 2 0 0
1 0 2 1 0 b 1 0 0
例2
当 a , b 取何值时，线性方程组
x3 x4 0 x1 x2 x2 2 x3 2 x4 1 x2 (a 3) x3 2 x4 b x3 ax4 1 3 x1 2 x2
解
系数矩阵 A 的行列式为
1 1 1 1 0 1 2 2 det A (a 1) 2 0 1 a 3 2 3 2 1 a
1 1 2 的逆矩阵. 1 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 2
第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用．
例1 求下列矩阵的秩
0 0 1 1 2 2 4 10 0 6 A . 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34
解
对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵
５ 行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0 ． 例如
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
６ 矩阵的等价标准形
（３）倍加：以数 k 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 E ( ij ( k )) ．
以 E m ( ij ( k ))左乘矩阵A, 相当于把A的第j行乘 以k加到第i行上( r i k r j ); 以 E n ( ij ( k ))右乘矩阵A, 相当于把A的第i列乘 以k加到第j列上(c j k c i ).
则其通解为
四、求逆矩阵的初等变换法
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵 ( A E )施行初等行变换 ,当把A变成E时, 原来的E就 变成了 A 1 .
A 或者对分块矩阵 ,当把A 施行初等列变换 E 变成E时, 原来的E就变成了A 1 .
0 例3 求矩阵 A 1 1 0 2 解 A E 1 1 1 1 1 r1 r2 0 1 1 r3 r1 0 0 1
7 矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个非零的 r阶子式, 则rank(A) r;
如果A中所有r 1阶子式都为零 , 则 rank(A) r;
rank(AT) rank(A);
定理
若A B, 则 rank(A) rank(B);
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
若A为n阶可逆矩阵, 则
x1 1 1 1 x2 1 2 2 x 0 k1 1 k 2 0 3 0 1 x 0 4 ( k1 , k 2为任意常数)
注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形．
二、求解线性方程组
当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解．
ˆ A b ； 对Ax=b,要研究其增广矩阵 A 对Ax=0,只研究其系数矩阵就可以了.
当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则．
0 1 0
~
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
任何一个m n矩阵, 总可以经过初等变换 (行变 换和列变换), 化为标准形 Er O F O O mn 此标准形由m , n, r三个数完全确定 , 其中r就是行阶 梯形矩阵中非零行的行 数.
1. 有非零解 rankA n det A 0 ( A 不满秩 ) 2. 只有零解 rankA n det A 0 ( A 满秩，非奇异，可逆 )
9 线性方程组的解法
齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解．
阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q , 使得PAQ B .
典 型 例 题
一、求矩阵的秩
二、求解线性方程组
三、含参数线性方程组求解
一、求矩阵的秩
求矩阵的秩有下列基本方法 ⑴ (定义法) 计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩． ⑵ 用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换， 把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的 秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不 改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行 （或列）的个数就是原矩阵的秩．
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．
初 等 变 换 逆 变 换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
1 1 r i (c i ) k k r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
r i k (c i k )
(1) (2) (3) (4)
A的最高阶非零子式为 det A; rank( A) n; A的标准形为单位矩阵 E; A E.
8 线性方程组有解的判别定理
定理 3.4
ˆ 对 Amn x = b, 设秩 rankA, rankA
1. 线性方程组无解 2. 线性方程组有解 且(1) 有唯一解 (2)有无穷多组解
1 2 0 0 1 0 6 2 4 10 A 0 9 3 6 15 0 21 7 14 35
1 0 0 0
2 3 0 0
0 1 0 0
0 2 0 0
1 5 B, 0 0
因此, rank A rankB 2.