初中数学 变量与函数

变量与函数
学习目标
1 了解函数的相关概念，会判断两个变量是否具 有函数关系．
2 能根据简单的实际问题写出函数解析式，并确 定自变量的取值范围．（重点、难点）
3 会根据函数解析式求函数值.
知识回顾
什么是变量和常量？
变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量.
常量： 在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量.
思考1：
下图是体检时的心电图．其中图上点的横坐标x表示 时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变 量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一 确定的值与其对应吗？
y
o
x
时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数
思考2：
下面的我国人口数统计表中，年份与人口数 可以分别记作两个变量x与y，对于表中每一个确
函数关系式是
Q 30 1 t 2
，自变量t的取值范围
是 0 t 60 .
4.某市乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3千 米，收费8元；超过3千米时，超过3千米的部分，每千米
加收1.8元.设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数 ），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x ≤3和x＞3时，表示y与x 的关 系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值；
A. y 18x C. y x(x 0)
B. y 1
x
D. y 3x2
2.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和 时间的关系式为 s=60t ，这个关系式中， 60 是 常量， t和s 是变量， s 是 t 的函数.
3.油箱中有油30L,油从管道中匀速流出，1h流完，则
油箱中剩余油量Q（L）与流出时间t（min）之间的
自变量的取值范围的求法
1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义 (1)整式： 取全体实数 (2)分式： 取使分母不为0的值 (3)二次根式： 取使“被开方数≥0”的值 (4)对于混合式：取使每一个式子有意义的值
2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有意义
随堂训练
1.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( C )
知识讲解
思考：前面的问题（1）~（4)中是否各有两个变量？同一个问
题中的变量之间有什么联系？
问题(1) ：行驶路程s（km）与行驶时间t（h）的关系 式为：s=60t .
60
120
180
240
300
发现: 当 时间t 取定一个值时，路程s就有唯一确定的值与其
对应.
问题(2) ：票房收入y与售票数量x 的关系式： y=10x
解：由x ≥0及50－0.1x ≥0，
得 0 ≤x ≤500， ∴自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
汽车行驶里程，油 箱中的油量均不能
为负数！
注意：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函 数解析式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ 解：当 x = 200时, 函数 y 的值为y=50－0.1×200=30. 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L.
发现: 当 圆的半径r 取定一个值时，面积S 就有唯一确定的值
与其对应.
问题(4) ：矩形的邻边长y与x的关系式为：y=5-x. 据此可以算出x分别为3m,3.5m,4m,4.5m时，y分别为 2m,1.5m,1m,0.5m.
发现: 当 x 取定一个值时，y 就有唯一确定的值与其对应.
归纳
某个变化过程中，两个变量相互联系，当其中一 个变量确定一个值时，另一个变量就有唯一确定的 值与其对应.
例3 汽车的油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么
油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程Baidu Nhomakorabea（单位：km） 的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子.
解:函数关系式为: y = 50－0.1x.
叫做函数的解析式
0.1x表示的意义是什么？
（2）指出自变量x的取值范围；
定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
年份 1984 1989 1994 1999 2010
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
年份x是自变量，人口数y是x的函数
从上面可知，函数是刻画变量之间对应关系的数 学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数 来表示.
x=150时 ，y=1500; x=205时，y=2050； x=310时，y=3100.
发现:当 售票数量x 取定一个值时，票房收入y 就有唯一确定的
值与其对应.
问题(3) ：圆的面积S与半径r的关系式为：s r 2
据此可以算出r分别为10cm,20cm,30cm时， S分别为
100πcm2 ， 400cm2 ，900πcm2
耕地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变 化而变化； （3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x， 它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量.
（2）y 是n的函数，其中n是自变量.
（3）y 不是x的函数.
例2
已知函数 y 4x 2 .
一个x值有两个 y 值与它对应
方法：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关 键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定 的值与它对应.
练一练
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如 果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有
函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y， 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对 应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函 数值.
例1 下列关于变量x ，y 的关系式：y =2x+3；
y =x2+3；y =2|x|；④ y x ；⑤y2-3x=10， 其中表示y 是x 的函数关系的是 ．
x 1
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：（1）当x=2时，y= 4 2-2 =2 ;
2+1
当x=3时，y= 5;
2
当x=-3时，y=7.
（2）令
4x 2 x 1
=0，
解得x=
1 2
.
即当x= 1 时，y=0.
2
把自变量x的值带 入关系式中，即可 求出函数的值.