线段之和(折线段)定值问题探究

2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值．

一、题目：

如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为1(0)F c -，

，2(0)F c ，． 已知(1)e ，和3e ⎛

⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若126AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

二、命题组解法：

（1）椭圆的方程为2

212

x y +=． （2）（ii ）由（1）得1(10)F -，

，2(10)F ，，又所以1AF ∥2BF ， 所以设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，112212((00A x y B x y y >y >，)

，，)，，． 所以222122111111

122(2)21=0=2=1x y m m m y my y my x ⎧+=++⎪⇒+--⇒⎨⎪+⎩． 所以222222

1111122=(1)(0)=()=1m m AF x y my y m ++++-++⋅ 2222(1)12

m m m m +++=+．① 同理，22222(1)1=2

m m m BF m +-++．②

所以1AF ∥2BF ，所以211BF PB PF AF =，即2121111111BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+⇒=． 所以11112

=AF PF BF AF BF +． 由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以

11212=(22)AF PF BF AF BF -+． 同理，22112=

(22)BF PF AF AF BF -+． 所以1212122121212

2+=(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++g 由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221=2

m AF BF m ++g ， 所以1223+=22=222

PF PF -． 所以12PF PF +是定值．

三、轨迹解法：

（1）椭圆的方程为2

212

x y +=． （2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ，

设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，

由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，

由（1）得1(10)F -，

，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，

由2

2221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩

，

显然0>V ，12222m y y m +=+，12212

y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以1111

y y x x =-- ①，

因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以2211

y y x x =+- ②， 首先由①⨯②得，12121111

y y y y x x x x =-+--g g ， 即2

1212221212121(2)(2)2()4

y y y y y x my my m y y m y y ==----++ 22222112128()2()422

m m m m m m m -

+=

=---+++， 再把①、②式取倒数，然后相减得2121212112

11222112()x x my my y y y y y y y ----=-=-=-， 即12111y y y =-，2112

1y y y y y -=， 所以2222222121122221212221(

)4()4122()8(1)1()()2m y y y y y y m m m y y y y y m --⨯-+-++====+-+， 由以上计算得：2222211818(1)y x m m y ⎧=⎪⎪--⎨⎪=+⎪⎩，即 2222218118x m y m y

⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去2

m 得：2219188x y +=，这表明(,)P x y 在椭圆22

191

88x y +=上， 此椭圆的焦点恰好为1(10)F -，

，2(10)F ，

，故12+PF PF =所以12PF PF +是定值. 显然，轨迹解法很容易列出(,)P x y 的方程组，难点是在消去参数上技巧比较强，但是这个方法显然是转化为最常规的直线与圆锥曲线位置关系问题（利用根与系数关系问题），体现了解析几何最为基本的转化，整个解题过程体现了转化为通性通法的基本解题思路.