中考数学之_线段和(差)的最值问题

求线段和（差）的最值问题

【知识依据】：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短

一、已知两个定点：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：

（2）点A 、B 在直线同侧：

A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：

m

m A

B

m A

B

m n m

n

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两个点都在内侧：

（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.

变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

n

m A

n

n

n

m

二、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：

点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动

点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：

2、点与圆在直线同侧：

m n

m n

m n

m

m

m

m

m

三、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：

过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左移动PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。 （2）点A 、B 在直线m 同侧：

四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：

（2）点A 、B 在直线m 异侧：

过B 作关于直线m 的对称点B ’,连接AB ’交点直线m 于P,此时PB=PB ’，PA-PB 最大值

B

m

m

m

m

Q m Q

为AB’

一、在线段之和的最值问题中酝酿与构建，借用线段公理求解

例1 （湖北荆门）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )

A 2

B

C 1

D 2

解析：PA+PB的线段之和最小值求法的依据是“平面几何中，两点之间线段最短”的数学模型与原理，故可作B关于MN的对称点是H，连接AH交MN于点P，AH的长就是PA+PB的线段之和的最小值，借助圆圆周角定理，可知根据∠AOH＝90°，巧妙构造Rt△OAH，根据题意运用勾股定理可求出AH=，所以PA+PB的

最小值为故选B。

点评：本题是课本著名原题“泵站问题”的变形与应用，解决本题的关键做出点B或A关于MN的对称点，然后利用线段垂直平分线的性质和两点之间线段最短,并借助圆心角和圆周角的关系，构造直角三角形运用勾股定理计算最小值来解决问题．不管在什么背景图中，有关线段之和的最短问题，常化归与转化为线段公理“两点之间，线段最短”。而化归与转化的方法大都是借助于“轴对称点”。

例2 圆锥底面半径为10cm，高为10cm，

（1）求圆锥的表面积；

（2）若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。

思路点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A到M的最短距离（即AM的长）。

解析：（1）圆锥的母线长SA=，圆锥侧面展开图扇形的

弧长，

侧，S

底

=，

∴S

表= S

底

+ S

侧

= 。

（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知，弧AA′= ，

，又SA′= AS=，SM=3A′M，∴SM=，∴

在Rt⊿ASM中，，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.

点评：对于立体图形中要计算圆锥曲面上两点之间的最短距离，一般把立体的圆锥的侧面展开成扇形，转化为平面图形借助线段公理计算。将立体图形转化为平面图形是初中阶段常用的基本方法与思想。