第三节 行列式展开定理

1 n 1
ai 1 a2
i
2
an
n
1 ai
i
a2 1 an
2
n
每 列 加 到 第 一 列
17
1
a2
an
2
n
每 行
1 n (1
ai ) 1
i
1 a2
2
an
n
减 去 第
1
a2 1 an
2
n
一 行
1 a2 an
1 n (1
ai ) 0
i
2
1
n
0
0 0 1
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
9
2、行列式的计算
计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列) 化出较多的零,再利用展开定理按该行(列)展开.
3 1 1 2
例1
5 D
1
3 4
2 0 1 1
1 5 3 3
a13 (a21a32 a22a31 )
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
2
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij (1)i j Mij ，叫做元素 a ij 的代数余子式．
0 0 a 0 0 0 b 0 0
00 .
ab 0a
a b 0 0
b 0 0 0
0 a 0 0
a b 0 0
原式 a b(1)n1
0 0 a b
0 0 b 0
0 0 0 a
0 0 a b
an (1)n1 bn .
15
例5 计算n阶行列式
a1 1 a2
an
a1 a2 2
x3n2 ( x3 x1 )
1
xn x1 xn ( xn x1 )
x n2 n
(
xn
x1
)
23
1
1
1
1
0 Dn 0
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
x3 x1
x3 ( x3 x1 )
xn x1 xn ( xn x1 )
0
x n2 2
(
x2
x1
)
x n2 3
(
x3
x1 )
xnn2 ( xn x1 )
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 (1)23 M 23 M 23 .
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
an
a1
a2 an n
解
1 a1
a2
1 2
a1
原 式 1 n 1
1 a2
2
a1
a2
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
(i 0 , i 1,2, , n)
an
n
an
n
1 an
n
16
1 a1
a2
an
1 2
n
a1
原 式 1 n 1
1 a2
2
an
n
a1
a2 1 an
1
2
n
1 ai
i
a2
2
an
n
或
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1,2, , n).
按第i行展开
按第j列展开
证略
推论: 若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式 的值为零.
6
1 23 例2 设D 4 0 5 ,
1 0 6
按第1行展开得
05 4 5 4 0
D1 2
3
2 29 58 ,
n 2
2
x3n2
xnn2
Dn ( x2 x1 )(x3 x1 ) ( xn x1 ) ( xi x j ) ni j2 ( xi x j ). ni j1
证毕.
25
1
x1 Dn x12
x n1
1
1
x2 x22
x n1 2
1
xn
xn2
(xi x j ) .
ni j1
0 6 1 6 1 0
按 第2列 展 开 得
4 5 1 3 13
D 2
0
0 2 29 58 .
1 6 1 6 4 5
7
定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数 余子式之和等于零,即
n
aik Ajk ai1 Aj1 ai2 Aj2 ainAjn 0
k 1
这是因为
a11 a12 a1n
1 x1 1 1
x
1
x 1
1
x x1 1 1
1 x1 1 1
x 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 x1
0 x x
0 0 x x
x
xx 0 x
0 x 0 x
0 0 x
0 0 0 x
x2 x 0
x x x4 .
14
例4 计算n阶行列式 a b 0 0 0
0 a b 0 0
解 按第一列展开, 并由上、下三角形 行列式得
1 n (1
ai ) .
i
18
例6 计算n阶行列式
1 0 Dn 0
1 0
0
0
0 0
0
0 0 0
解 按第1列展开，
Dn ( )Dn1 Dn2 (1)
即 Dn Dn1 ( Dn1 Dn2 ) ，
19
Dn ( )Dn1 Dn2 (1)
即 Dn Dn1 ( Dn1 Dn2 ) ，
按第1列展开，并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出，就有
1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x2n2
n-1阶范德蒙行列式
1
x3
x
n 3
2
1
xn
x
n2 n
24
1 1 1
( x2 x1 )( x3 x1 ) ( xn x1 )
x2
x3
xn
x
D 0 2 3 1 0
0 4 1 4 0
0 2 3 50
5 3 1 2
2 3 1
解 D (1)25 2 0 2 3 1 2 5 4 1 4
0 4 1 4
2 35
02 35
2 3 1
r2 2r1
10 0
7 2 20 42 12 1080.
r3 r1
0 66
12
例3 计算行列式 1 1 1 x 1
第三节
音乐
1、余子式与代数余子式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 )
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23 , A44 (1)44 M44 M44 .
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个 代数余子式.
5
(行列式展开定理) n阶行列式D=|aij|等于它的任意一 行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain (i 1,2, , n)
21
例7 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 x2 xn
Dn x12 x22 xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x n1 1
x n1 2
x n1 n
证 用数学归纳法，
11
D2 x1
x2
x2 x1 ( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时(1)式成立 .
1 1 x1 1
.
1 x1 1 1 x1 1 1 1
解 每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加 到第一列,
x 1 1 x1 1 1 1 x 1
x 1 x1 1 1 1 x 1 1
原式
x
x x1 1 1 1 x 1 1 1
x 1 1 1
1 1 1 1
13
x 1 1 x1 1 1 1 x 1
原式 x
x n1 n
11 1 1
例如, 1 2 4 8
1 3 9 27 1 4 16 64
(2 1)(3 1)(3 2)(4 1)(4 2)(4 3) 12 .
26
练习：
P28 习题一
27
c1 2c3 c4 c3
5 1 1 11 1 3
001 5 5 3
1
5
1 (1)33 11
0
5
0
11 1 1 5 0
10
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 40.
5 5
11
例2 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52
n1 ( D2
D1 )
n1 ( D2
D1 )
,
而
D1 ,
D2 1
2 2 ,
代入得
n1 n1 Dn .
(2) 若 , 则 Dn Dn1 n2 ( D2 D1 ) n ,
Dn
Dn1 n
(Dn2
n1 )
n
D 2 n2
2
n
n1D1 (n 1) n (n 1) n .
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 (1)12 M12 M12 .
4
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
22
假设(1)式对于n 1 阶范德蒙行列式成立， 从 第n行 开 始 ， 每 行 减 去前一行的x1倍 ：
1
x1 x12 x n1
1
1
x2 x22
x n1 2
1
xn xn2 x n1
n
1
1
0 Dn 0
x2 x1 x2 ( x2 x1 )
0
x n2 2
(
x2
x1
)
1
x3 x1
x3 ( x3 x1 )
反复利用递推公式得：
Dn Dn1 2 ( Dn2 Dn3 ) n2 ( D2 D1 ) (2)
由对称性，(1)式又可化为
Dn Dn1 n2 ( D2 D1 ) (3)
(1) 若 , 联列(2)(3),解得
Dn
n1 ( D2
D1 )
n1 ( D2
D1 )
,
20
Dn
(i j)
n
ai1 ai2
aik Ajk
k 1
ai1 ai2
ain 第i行
0.
ain 第j行
an1 an2 ann
8
同样, 行列式对列展开, 也有
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
引入记号
ij
1 ,当 i 0 ,当 i
j， j.
则有