曲率半径
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1) 形成
当A=0º 或180º 时，子午圈曲率半径，用M表示
二.子午圈曲率半径
(2) 公式
将A=0º 代入任意方向法截线曲率半径公式
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
得
M R0
N 1 e 2 cos2 B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
Z
x
P y
z
P1
X
B
O
P2
Y
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合； x轴：为法截线P1PP2在P 点处的切线方向； y轴：与P点的法截面垂直， 使坐标系P-xyz成右手系 P-xyz中法截面方程
y0
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
得 x 2 y 2 z 2 2 Nz e'2 x cos A y sinAcos B z sinB2 0
(2) 任意方向法截线方程
将法截面方程 y=0 代入上式 得 x 2 z 2 2 Nz e'2 x cos Acos B z sinB2 0
0 B 90 逐渐减小 B 90
W 1 e 2 V 1
a(1 e 2 ) M c
a M 1 e2 c
在极点处，M为极曲率半径c。
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of vertical circle）
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
移轴：将原点O移至P点得 坐标系P-X'Y'Z’
X X X P X N cos B Y Y Y Y 0 P 2 Z Z Z N (1 e ) sinB Z P
K
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
2、法截线的作用
3、基本思路
椭球面方程
X Y Z 2 2 1 2 a a b
2 2 2
P
O
P2
P1
X
B
Y
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
4、新坐标系P-xyz的定义
X
’
P
’
B
Y
’
O
K
Y
X
移轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
X
’
”
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
X
’
° Y P 90 +B ’ Y ” Z B ”O
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a, b, c, , e, e)
a b 1 e'2 b a 1 e2 c a 1 e'2 a c 1 e2 e' e 1 e'2 e e' 1 e 2 V W 1 e'
y ”
z Z
” B
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
y ”
z Z
” B
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P y
z
P1
X
B
O
P2
求P-xyz中的椭球面方程 求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
Y
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
OO
K
X x cos A si n A 0 x Y R ( A) y si Байду номын сангаас A cos A 0 y Z 0 1 Z z 0 z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
平面曲线曲率半径公式 根据高等数学，平面曲线z=f(x) 上某点P处的曲率半径为
P
dz 2 1 dx P R d 2z dx2 P
y ”
z Z
” B
OO
K 第二次转轴
X ( x cos A y sin A) sin B z cos B N cos B Y x sin A y cos A Z ( x cos A y sin A) cos B z sin B N (1 e 2 ) sin B
3 2
z
z f ( x)
x
dz 1 0 R A dx P d 2z x P z P 0 dx2 P
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
N
PK N a W
2
P
W
PQ N (1 e )
QK Ne 2
QK Ne 2 2 OK Ne si nB OQ Ne 2 cos B
B
O
Q
E
K S
P点的法线
构成直角三角形
第四讲 椭球面上几种曲率半径
本节课主要内容
任意方向法截线曲率半径。 子午圈和卯酉圈曲率半径。 曲率半径变化规律。 平均曲率半径。
M a (1 e 2 ) (1 e sin B )
2 2 3 2
c (1 e2 cos 2 B )
3 2
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
(3)分析M的变化规律（M是B的增函数） B
B 0
二.子午圈曲率半径
a(1 e 2 ) c M 3 3 W V
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
将P-xyz与O-XYZ的关系代入
X2 Y 2 Z2 2 2 1 a2 a b
第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X x X P Y R (90 B ) R ( A) y Y Y Z P Z z ZP
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
第二次转轴： PX’’Y’’Z’’绕Z’’轴，顺时 针旋转角A（A为P点处法截线 方位角），得坐标系P-xyz
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
公式说明
RA与L无关 RA与所在的纬度B、法截线方位角A有关 N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PK A为法截线方位角；e’为第二偏心率
第四讲 椭球面上几种曲率半径
化简
M R0 N 1 e 2 cos2 B
2 2 W 1 e sin B 2 2 V 1 e' cos B
二.子午圈曲率半径
a N W 2 a c 1 e 2 W V 1 e
具体表达式
a(1 e 2 ) c M W3 V3
6、公式推导
Z
X
’
P
X
”
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X X Y R (90 B ) Y Y Z Z
’ Y
B ”O Z
”
’
K
90 B ) X 第一次转轴 X cos(90 B ) 0 sin ( Y 0 1 0 Y Z sin ( 90 B ) 0 cos( 90 B) Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。 法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是 Z 一平面曲线。
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P XP
ZP B
P2’
O
K
Y
P点在O-XYZ中的坐标
X
X P PP2 N cos B YP 0 2 Z P PP1 N (1 e ) si nB
P1’
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
2 2 W 1 e s i n B 2 2 V 1 e' cos B
W、V
W 1 2 V 1 e
M
a (1 e 2 ) c M 3 2 2 (1 e )
说明
在赤道上，M小于赤道半径。 M随纬度的升高而增大，其值 介于a(1-e2)和c之间
2
e 2 2 2
N
辅助函数 W 1 e 2 sin2 B
V 1 e'2 cos2 B 大值 小值 1 e2 小值 大值 1 e 2
W V 1 e2
W
b O
a E
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面 上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
两个特殊方向的曲率半径
任意方向法截线 曲率半径 子午圈曲率半径 卯酉圈曲率半径
K
子午圈
A
P
卯酉圈
任意方向 法截线
B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
当A=0º 或180º 时，子午圈曲率半径，用M表示
二.子午圈曲率半径
(2) 公式
将A=0º 代入任意方向法截线曲率半径公式
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
得
M R0
N 1 e 2 cos2 B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
Z
x
P y
z
P1
X
B
O
P2
Y
坐标原点：与P点重合； z轴：与P点法线PK重合； x轴：为法截线P1PP2在P 点处的切线方向； y轴：与P点的法截面垂直， 使坐标系P-xyz成右手系 P-xyz中法截面方程
y0
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
得 x 2 y 2 z 2 2 Nz e'2 x cos A y sinAcos B z sinB2 0
(2) 任意方向法截线方程
将法截面方程 y=0 代入上式 得 x 2 z 2 2 Nz e'2 x cos Acos B z sinB2 0
0 B 90 逐渐减小 B 90
W 1 e 2 V 1
a(1 e 2 ) M c
a M 1 e2 c
在极点处，M为极曲率半径c。
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of vertical circle）
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
移轴：将原点O移至P点得 坐标系P-X'Y'Z’
X X X P X N cos B Y Y Y Y 0 P 2 Z Z Z N (1 e ) sinB Z P
K
第一次转轴： P-X’Y’Z’绕Y’ 顺时针旋转(90°+B)，使Z’轴 与P 点的椭球面法线重合，得 坐标系P-X’’Y’’Z’’
第一次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
2、法截线的作用
3、基本思路
椭球面方程
X Y Z 2 2 1 2 a a b
2 2 2
P
O
P2
P1
X
B
Y
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
4、新坐标系P-xyz的定义
X
’
P
’
B
Y
’
O
K
Y
X
移轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
Z
X
’
”
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
X
’
° Y P 90 +B ’ Y ” Z B ”O
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
椭球面基本几何元素及其相互关系 (a, b, c, , e, e)
a b 1 e'2 b a 1 e2 c a 1 e'2 a c 1 e2 e' e 1 e'2 e e' 1 e 2 V W 1 e'
y ”
z Z
” B
OO
K 第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
第二次转轴
转换关系为
y ”
z Z
” B
5、求任意方向法截线曲率半径基本步骤
Z
x
P y
z
P1
X
B
O
P2
求P-xyz中的椭球面方程 求任意方向法截线方程 求任意方向法截线曲率半径
Y
K
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
OO
K
X x cos A si n A 0 x Y R ( A) y si Байду номын сангаас A cos A 0 y Z 0 1 Z z 0 z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
平面曲线曲率半径公式 根据高等数学，平面曲线z=f(x) 上某点P处的曲率半径为
P
dz 2 1 dx P R d 2z dx2 P
y ”
z Z
” B
OO
K 第二次转轴
X ( x cos A y sin A) sin B z cos B N cos B Y x sin A y cos A Z ( x cos A y sin A) cos B z sin B N (1 e 2 ) sin B
3 2
z
z f ( x)
x
dz 1 0 R A dx P d 2z x P z P 0 dx2 P
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
N
PK N a W
2
P
W
PQ N (1 e )
QK Ne 2
QK Ne 2 2 OK Ne si nB OQ Ne 2 cos B
B
O
Q
E
K S
P点的法线
构成直角三角形
第四讲 椭球面上几种曲率半径
本节课主要内容
任意方向法截线曲率半径。 子午圈和卯酉圈曲率半径。 曲率半径变化规律。 平均曲率半径。
M a (1 e 2 ) (1 e sin B )
2 2 3 2
c (1 e2 cos 2 B )
3 2
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）
(3)分析M的变化规律（M是B的增函数） B
B 0
二.子午圈曲率半径
a(1 e 2 ) c M 3 3 W V
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
(1) P-xyz中的椭球面方程
将P-xyz与O-XYZ的关系代入
X2 Y 2 Z2 2 2 1 a2 a b
第二次转轴
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
综合一次移轴和两次转轴得 两坐标系的关系
X x X P Y R (90 B ) R ( A) y Y Y Z P Z z ZP
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
6、公式推导
X
” P
A
x
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
转轴：使两坐标系各轴重合 （两次转轴)
第二次转轴： PX’’Y’’Z’’绕Z’’轴，顺时 针旋转角A（A为P点处法截线 方位角），得坐标系P-xyz
6、公式推导
(3) 任意方向法截线曲率半径
对法截线方程求二阶导数代入曲率半径公式可得
RA N 1 e'2 cos2 A cos2 B
公式说明
RA与L无关 RA与所在的纬度B、法截线方位角A有关 N为P点沿法线方向至椭球短轴的距离PK A为法截线方位角；e’为第二偏心率
第四讲 椭球面上几种曲率半径
化简
M R0 N 1 e 2 cos2 B
2 2 W 1 e sin B 2 2 V 1 e' cos B
二.子午圈曲率半径
a N W 2 a c 1 e 2 W V 1 e
具体表达式
a(1 e 2 ) c M W3 V3
6、公式推导
Z
X
’
P
X
”
Y
(1) P-xyz中的椭球面方程
转换关系为
X X Y R (90 B ) Y Y Z Z
’ Y
B ”O Z
”
’
K
90 B ) X 第一次转轴 X cos(90 B ) 0 sin ( Y 0 1 0 Y Z sin ( 90 B ) 0 cos( 90 B) Z
第四讲 椭球面上几种曲率半径
一.任意方向法截线曲率半径
（Normal transversal curvature radius at random directions)
1、法截面、法截线的概念
法截面：包含椭球面某点法线的平面（如平面P1PP2）。 法截线：法截面与椭球面的交线，（如曲线P1PP2 ），是 Z 一平面曲线。
6、公式推导
Z
(1) P-xyz中的椭球面方程
两坐标系原点的位置关系：
P XP
ZP B
P2’
O
K
Y
P点在O-XYZ中的坐标
X
X P PP2 N cos B YP 0 2 Z P PP1 N (1 e ) si nB
P1’
P点坐标
第四讲 椭球面上几种曲率半径
2 2 W 1 e s i n B 2 2 V 1 e' cos B
W、V
W 1 2 V 1 e
M
a (1 e 2 ) c M 3 2 2 (1 e )
说明
在赤道上，M小于赤道半径。 M随纬度的升高而增大，其值 介于a(1-e2)和c之间
2
e 2 2 2
N
辅助函数 W 1 e 2 sin2 B
V 1 e'2 cos2 B 大值 小值 1 e2 小值 大值 1 e 2
W V 1 e2
W
b O
a E
S
参考椭球
第四讲 椭球面上几种曲率半径
上节课内容回顾
重要结论
椭球面上一点的法线，界于椭球面和短轴间的长度等于N，在赤道面 上侧的长度等于N（1-e2），在赤道面下侧的长度等于Ne2。
一.任意方向法截线曲率半径
(Normal transversal curvature radius at random directions)
两个特殊方向的曲率半径
任意方向法截线 曲率半径 子午圈曲率半径 卯酉圈曲率半径
K
子午圈
A
P
卯酉圈
任意方向 法截线
B
第四讲 椭球面上几种曲率半径
（Curvature radius of meridian）