2013届华东师大版数学全国中考复习方案第21讲直角三角形与勾股定理

图 21－ 5
第21讲┃ 回归教材
请解答下列问题： 3 ； (1)S1＝________ 1＋ 8 (2)通过探究，用含 n的代数式表示 Sn，则Sn＝ 3 3 n － 1 ________________. (n为整数) 1＋ 8 · 4
第21讲┃ 归类示例
勾股定理的作用： (1)已知直角三角形的两边求第三 边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证 明平方关系的问题．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之二 实际问题中勾股定理的应用
命题角度： 1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．
第21讲┃ 归类示例
如图 21－ 2，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙 面和地面均没有缝隙 )，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面 爬到柜角 C1处．
定义 分类
第21讲┃ 考点聚焦 考点4 互逆命题、互逆定理
互逆 命题 互逆 定理
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把 这样的两个命题叫做互逆命题，如果我们把其 中一个叫做 ________ 原命题 ，那么另一个叫做它的 ________ 逆命题 若一个定理的逆定理是正确的，那么它就是这 逆定理 ，称这两个定理为互逆定理 个定理的 ________
第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在 Rt△ ABC中， AC＝ 9， BC＝ 12， 根据勾股定理得： AB＝ AC2＋BC2＝ 15，过 C作 CD⊥ AB，交 AB于点 D， 1 1 又 S△ ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， 2 2 AC·BC 9× 12 36 ∴ CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点 C到AB的距离是 . 5 故选 A.
图 21－ 2 (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝ 4， BC＝ 4， CC1＝ 5时，求蚂蚁爬过的最短路径 的长； (3)求点 B1到最短路径的距离．
第21讲┃ 归类示例
解： (1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC1′D1， 和ACC1A1.
蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1和AC1.
第21讲┃ 归类示例
利用勾股定理求最短线路问题的方法：将起点和终点所 在的面展开成为一个平面，进而利用勾股定理求最短长度．
第21讲┃ 归类示例 ► 类型之三 直角三角形的判定
命题角度： 根据三角形三边的关系判定三角形是否为直角三角形．
[2012· 广西] 已知三组数据：①2，3，4；②3，4， 5；③1， 3 ，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边 长，构成直角三角形的有 ( D ) A．② B．①② C．①③ D．②③
第21讲┃ 归类示例
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1到 C′1，爬过的路径的长是 l1＝ 42＋（ 4＋ 5）2 ＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1到 C1，爬过的路径的长是l2＝ （4＋4） 2＋52＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89. B1C1 4 20 (3)作B1E⊥ AC1于 E，则 B1E＝ ·AA1＝ · 5＝ AC1 89 89 89.
第21讲┃ 考点聚焦 考点2 勾股定理及逆定理
勾股 定理 直角 三角 形的 判定 勾股 数
直角三角形两直角边 a、 b的平方和，等于斜边 c的平方．即： ____________ a2＋b2＝c2 如果三角形的三边长 a、 b、 c有 a2＋b2＝c2 ，那么这 定理 关系： ____________ 个三角形是直角三角形 (1)判断某三角形是否为直角三 用途 角形； (2)证明两条线段垂直； (3)解决生活实际问题 能构成直角三角形的三条边长的三个正整数， 称为勾股数
第21讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用勾股定理求线段的长度
命题角度： 1. 利用勾股定理求线段的长度； 2. 利用勾股定理解决折叠问题．
第21讲┃ 归类示例
[2011· 黄石 ] 将一个有 45度角的三角板的直角顶点放在 一张宽为 3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上， 测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30度角，如图 21－ 1，则三角板的最大边的长为 ( D )
第21讲┃ 归类示例
判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判 断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
第21讲┃ 回归教材
回归教材
21－3，已知直角三角形 ABC的三边分别为6、8、 10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部 分的面积．
第21讲┃ 考点聚焦 考点3 命题、定理、公理
命题
公理 定理
判断一件事情的句子叫做命题 正确的命题称为 ________ 真命题 错误的命题称为 ________ 假命题 条件 和 ______ 结论 组成 每个命题都由 ______ 两个部分组成 公理 公认的真命题称为 ________ 除公理以外，其他真命题的正确性都经 过推理的方法证实，推理的过程称为 ________ 证明 ．经过证明的真命题称为 ________ 定理
图21－3
第21讲┃ 回归教材
解：根据题意，阴影部分的面积为 1 6 2 1 8 2 1 1 10 2 ×π× ＋ ×π× ＋ × 6× 8－ ×π × ＝ 24. 2 2 2 2 2 2 2
第21讲┃ 回归教材
中考变式
1． [2011· 贵阳 ] 如图 21－ 4，已知等腰 Rt△ ABC的直 角边长为 1，以 Rt△ ABC的斜边AC为直角边，画第二个等 腰 Rt△ ACD，再以 Rt△ ACD的斜边 AD为直角边，画第三 个等腰 Rt△ ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△ AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 31 ________． 2
图 21－ 4
第21讲┃ 回归教材
1 [解析 ] 第 1个三角形的面积为 ，第 2个三角形的面积 2 1 1 2 为 × ( 2) ＝ 1，第 3个三角形的面积为 × 22＝ 2，第 4个三角 2 2 1 1 2 形的面积为 × ( 8 ) ＝ 4，第 5个三角形的面积为 × 42＝ 8， 2 2 1 故这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ＋ 1＋ 2＋ 4 2 31 ＋ 8＝ . 2
第21讲┃ 回归教材
2． [2010· 乐山 ] 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关 系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图 21－ 5是一棵由 正方形和含 30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树 主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 S2，…， 第 n个正方形和第 n个直角三角形的面积之和为 Sn.设第一个正方 形的边长为 1.
A． 3 cm
B． 6 cm
图 21－ 1 C． 3 2 cm
D. 6 2 cm
[解析] 如图所示，过点A作AD⊥BD，垂足为D，所以AB＝ 2AD＝2×3＝6 (cm)，△ABC是等腰直角三角形，AC＝ 2 AB＝ 6 2(cm)．
第21讲┃ 归类示例
[2012· 广州] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9， BC＝12，则点C到AB的距离是 ( A ) 36 12 9 3 3 A. B. C. D. 5 25 4 4
第21讲┃直角三角形与勾股定理
第21讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 定义 直角三角形的概念、性质与判定 有一个角是 ________ 直角 的三角形叫做直角三角形 (1)直角三角形的两个锐角互余 (2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所 性质 对的直角边等于 ____________ 斜边的一半 (3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ________ (1)两个内角互余的三角形是直角三角形 判定 (2)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形 1 1 (1)SRt△ ABC＝ ch＝ ab，其中 a、 b为两直角边， c为斜 2 2 拓展 边， h为斜边上的高； (2)Rt△ ABC内切圆半径 r＝ a＋ b－ c c ，外接圆半径 R＝ ，即等于斜边的一半 2 2
第21讲┃ 归类示例
[解析 ] 根据直角三角形的判定，只要两边的平方 和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个 较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． ①∵ 22＋ 32＝ 13≠ 42， ∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故 不符合题意； ②∵ 32＋ 42＝ 52 ， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意； ③∵ 12＋( 3)2＝ 22， ∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符 合题意． 故构成直角三角形的有②③ .故选 D.