初中数学专题复习全等三角形解析

初中数学专题复习——全等三角形

一.知识点结构梳理及解读

1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等

3.三角形全等的判定：

（1）边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。

（2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（3）角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。

角角边（AAS）：两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

二、找全等三角形的方法

（1）从结论出发，看要证明相等的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）从已知出发，看可以确定哪两个三角形全等；

（3）从条件和结论综合考虑，看能一同确定哪两个三角形全等；

（4）考虑辅助线，构造全等三角形。

三．全等三角形中几个重要结论

（1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等(对应元素都分别相等)

（2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。

（4）三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等），三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等），到三角形三边所在直线等距离的点有四个

经典例题

例1．如图：BE 、CF 相交于点D ，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E 、F ，且DE=DF 。求证：AB=AC 。

举一反三：

例2．【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM⊥AN。

例3．【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC ，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC 。

例4．（启航）已知：如图，Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，BE 平分∠ABC ，交AD 于E ，EF ∥AC ，求证：AB=BF B

A

F

E

D

F

B

M N

E

12

3

4

B

A

E

D

E

D

A

N

M F

E

D

C

B

A

例5．已知：如图，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，AE ⊥BE ；说明：AD+BC=AB ．

例6．（24题）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 作CD ∥AB 交∠ABC 的平分线于点D ，∠ACB 的平分线交BD 于点E 。 （1）求证：BC ＝CD ； （2）求证：BC ＋CE ＝AB

例7（24题）．.如图，在等腰三角形ABC 中，CA = CB ，∠ACB = 90°，点D 、E 是直线BC 上两点且CD = BE ，过点C 作CM ⊥AE 交AE 于点M ，交AB 于点F ，连接DF 并延长交AE 于点N ． (1).若AC=2，CD=1，求CM 的值； (2).求证：∠D=∠E ．

例8（2015级一中七下）.已知两个全等的等腰直角△ABC 、△DEF ，其中∠ACB=∠DFE=90°，E 为AB 中点，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ．

（1）如图l 所示放置，当线段EF 经过△ABC 的顶点C 时，点N 与点C 重合，线段DE 交AC 于M ，求证：AM=MC ；

（2）如图2所示放置，当线段EF 与线段BC 边交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请探究AM ，MN ，CN 之间的等量关系，并说明理由；

（3）如图3所示放置，当线段EF 与BC 延长线交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请猜想AM ，MN ，CN 之间的等量关系，不必说明理由．

例9（2016级南开七下）。已知，在等腰Rt ABC ∆中，90,,ABC AB CB D ∠==为直线AB 上一点，连接CD ，过C 作CE CD ⊥，且CE CD =，连接DE ，交AC 于F 。 （1）如图1，当D 、B 重合时，求证：EF BF =。

（2）如图2，当D 在线段AB 上，且30DCB ∠=时，请探究DF 、EF 、CF 之间的数量关系，并说明理由。 （3）如图3，在（2）的条件下，在FC 上任取一点G ，连接DG ，作射线GP 使60DGP ∠=，交DFG ∠的角平分线于点Q ，求证：FD FG FQ +=。

例10（2014级一中七下）。在Rt△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB＝90°，D 是AC 的中点，DG⊥AC 交AB 于点G. （1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，点F 在线段DG 上，且DE=DF ，连结EF 与 CF ，过点F 作FH⊥FC，交直线AB 于点H ．

①求证：DG=DC ②判断FH 与FC 的数量关系并加以证明．

（2）若E 为线段DC 的延长线上任意一点，点F 在射线DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

D

E

图2

G H F

E D

C

B A

图1