高中三角函数综合题及答案

三角函数习题

1．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．

(Ⅰ)求角B 的大小;

(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值

2．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,

向量(2sin ,m B =,

2cos 2,2cos 12B n B ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭,且//m n ｡

(I)求锐角B 的大小;

(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值

3．已知⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x

x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡

(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3

4

,0[∈x 时,)

(x g y =的最大值｡

4．设向量,函数

(I)求函数的最大值与最小正周期; (II)求使不等式成立的的取值集合｡ 5

．已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，．

(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈()()f x a a b =⋅+()f x 3

()2

f x ≥

x

（1）求)(x f 的最大值和最小值；

（2）2)(<-m x f 在ππ42x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，上恒成立，求实数m 的取值范围．

6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知

.3tan )(222bc A a c b =-+

(I)求角A;

(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡

7．在锐角ABC ∆中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

(tanA

－tanB)＝1＋tanA·tan B．

(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小；

(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n

｜的取值范围．

三角函数习题答案

1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,

∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )

∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0

∴cos B =2

1

.

∵0

3

π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,3

2π) 设sin A =t ,则t ∈]1,0(.

则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. ｡

2.【解析】:(1) //m n ⇒

2sinB(2cos 2

B 2-1)=-3cos2B ⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3

∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π

3

(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6

①当B=π

3

时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=3

4ac ≤

3

∴△ABC 的面积最大值为

3

②当B=5π

6时,已知b=2,由余弦定理,得:

4=a 2+c 2+

3ac≥2ac +

3ac=(2+

3)ac (当且仅当a=c =

6-2时等号

成立) ∴ac≤4(2-3)

∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=1

4ac≤ 2- 3

∴△ABC 的面积最大值为2- 3

3.【解析】:(1))3

4sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=

x x x x f ∴当

]22

3,

22

[

34

ππ

ππ

π

πk k x

++∈-

时,)(x f 单调递减 解得:]83

22

,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡

(2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称

∴⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x

∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx ∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫

⎝⎛+ππx

∴0=x 时,2

3

)(max =x g 4.【解析】