3.2.1立体几何中的向量方法——法向量求法完美版

【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (1

2

，0,0)，S (0,0,1)．

(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →

＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(1

2

，0,0)是平面SAB 的一个法向量．

(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →

＝(1,1，－1)．

设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →

. 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·

SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧

12

x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2y z ＝－y ，

令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)． 小结：求一个平面法向量的方法

1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量

a ＝(a 1，

b 1，

c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．

(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

n ·

a ＝0，n ·

b ＝0.

(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．

3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧

n ·

a ＝0，n ·

b ＝0有无数多个解，只需给x ，

y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面

的法向量就不同，但它们是共线向量． 补充练习：

正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：

图3－2－3

(1)平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)平面BDEF 的一个法向量．

【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)

(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →

＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →

＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．

∴⎩⎪⎨⎪⎧

n ·DB →＝0n ·

DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－x z ＝－12x .令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1. ∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.

活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）

1．在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？

2．如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？

活动五：作业布置、提高巩固

1． 书面作业：补充

板书设计： 用向量方法研究立体几何一

1、空间中点、直线、平面的表示 例1： 例2：

2、用向量表示直线与平面位置关系

3、平面法向量的求法

教学后记：