不定积分例题及答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
⎰
思路: 被积函数52
x -
=，由积分表中的公式（2）可解。
解：
5
3
2
2
23x dx x C -
-
==-+⎰
★(2)dx
-
⎰
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1
14111
33322
23
()2
4dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=-+⎰⎰⎰⎰
★(3)22x x dx +⎰
（）
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2
2
3
2122ln 23
x x
x
x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3153
22
222
3)325
x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰
⎰⎰
★★(5)422
331
1
x x dx x +++⎰ 思路:观察到422
223311311
x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，
分别积分。
解：4223
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)2
2
1x dx x +⎰
思路:注意到22222
111
1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x
=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，
通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x
⎰
34134
（-
+-）2 思路:分项积分。 解：34
11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-
+-）2 223134
ln ||.423
x x x x C --=--++ ★
(8)23(
1dx x -+⎰
思路:分项积分。 解
：2231(
323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰
⎰ ★★
(9)
思路
=？
111
7248
8
x
x ++==，直接积分。
解
：
715
8
88
.15x dx x C ==+⎰
⎰
★★(10)
221
(1)dx x x +⎰
思路:裂项分项积分。 解：
222222
111111
()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x
x x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)21
1
x x
e dx e --⎰ 解：21(1)(1)
(1).11
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x x
e dx ⎰
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x
e e =（）。
解：333.ln(3)
x
x
x
x
e e dx e dx C e ==+⎰⎰
（）
（） ★★(13)2cot xdx ⎰
思路:应用三角恒等式“22
cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰
★★(14)23523
x x
x
dx ⋅-⋅⎰ 思路:被积函数
235222533
x x x
x ⋅-⋅=-（），积分没困难。 解：2
()2352232525.33ln 2ln 3
x
x
x
x x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2
x dx ⎰ 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：2
1cos 11cos
sin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)1
1cos 2dx x
+⎰
思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
2
21111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ ★(17)cos 2cos sin x
dx x x
-⎰
思路:不难，关键知道“2
2
cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰
★(18)22
cos 2cos sin x
dx x x
⋅⎰ 思路:同上题方法，应用“2
2
cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11
cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x
x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰