电多极矩

( 0) F QEe ( x )
F
(1)
相当于带电体系集中在一点上 点电荷在外场中受到的作用力 电偶极子只在非均匀场中受力。 (1) 若为均匀场 F 0
( p Ee )
F (1) p ( Ee ) ( p ) Ee Ee ( p) ( Ee ) p
p r
p r
l R ）：
1
4 0
z
R
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电四极矩其它例子
D11 0 四个点电荷在 x 轴
D22 0 四个点电荷在 y 轴
D12 0
+
-
z
+
D12 D21 0 x-y 平面 D13 D31 0 x-z 平面 D23 D32 0 y-z 平面
1. 小区域电荷分布
P
r
l
x
O
( x)
x
但是在许多实际情况中，电 荷分布区域的线度远小于该区 Q 域到场点的距离，可以近似处 r R ( x ) 4 0 R 理，解析求解。条件 l r 。
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(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
y
x
作业：计算图示情况下的电四极矩张量 自学：教材９０页例题
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三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）
1．设外场电势为 e，场中 电荷分布为 ( x ) ，体系 具有的总能量为：
z
e 1 W0 ( e )( e )dV 2 y 1 1 x dV ee dV 2 2 1 ( e e )dV 可证明： dV edV e 2 1 1 因此： W0 dV ee dV + W 2 2 W e dV 称为体系的相互作用能，或带电 体系在外场中的能量。
1 1 1 1 2 1 (x ) (x ) r R r x 0 2 r x 0 1 1 1 2 1 ( x ) ( x ) R R 2 R 1 1 1 1 ( x ) ( xx : ) R R 2 R 1 1 1 其中 ( , aa : bb (a b )2 ) r x 0 r x 0 R
e (0) W ( x )e (0)dV [ ( x ) xi dV ] V V xi i 1
3 2 e (0) 1 [ 3 xi x j ( x )dV ] 6 ij V xi x j
1 Qe (0) ( p )e (0) ( D : )e (0) 6 W (0) W (1) W (2)
l
R a
O
-a -b +
x
D33 3 zz ( x )dV
V
Βιβλιοθήκη Baidu
z
z
3 zzQ ( z z )dz
3 z1 z1Q 3 z2 z2Q 3 z3 z3Q 3z4 z4Q 3(b 2 a 2 a 2 b 2 )Q 6Q(b 2 a 2 ) 6Q(b a )(b a ) 6 pl
4. 带电体系在外场 Ee 中受到的力和力矩
Ee 0
设 W 为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场 中受到的力 F W （假定Q不变）以下仅讨论W (0)和 W (1)
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力： F
W (0) W (1)
Qe ( p Ee ) QEe ( p Ee )
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1 1 1 1 2 1 6 plez ez : pl 2 ( ) 4 0 6 R 4 0 z R
它与直接计算结果完全一致（
1 1 p [ ] 3 3 40 r r 40 r 40 r 1 1 1 p ( ) ( p pez ) 4 0 z r r 1 1 r r l cos l l r R cos r R cos 2 r r r r R 2 2 1 1 R 1 z cos 2 2 2 ( z R cos ) z R R z R R R R z 2 2 2 1 2 1 R x y z pl 2 ( ) z R
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2. 电四极矩张量 D 3x x ( x )dV V Dij 3xi x j ( x )dV 有9个分量
2 重新定义： D (3 x x R l ) ( x )dV
1 1 1 1 ( x )[ x x x : ]dV 40 V R R 2 R
电偶极矩矢量 p ( x) xdV
V
1
D 3x x ( x )dV
V
Q ( x)dV
2 2 1 2 2 f (0, 0, 0) f (0, 0, 0) f (0, 0, 0) 2 2 [ x1 x2 x3 2! x1 x2 x3
2
2 f 2 f 2 f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3 ] x1x2 x1x3 x2 x3
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3．相互作用能的意义：
W
W
W
(0)
Q e (0)
体系电荷集中在原点时，在外场 中的能量； 体系等效电偶极子在 外场中的能量；
(1)
p e (0) p Ee (0)
( 2)
体系等效电四极子在 1 1 D : e (0) D : Ee (0) 外场中的能量。若外 6 6 场为均匀场
ij kl
2 ek el x k xl
2 2 Dij jk il Dij xi x j ij kl x k x l ij
等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简
( 2)
单的体系为坐标原点附近（ + ， - ， + ， - ）四个点 电荷产生的电势
( 2)
Dij D ji
(i j )
电四极矩有6个不同分量
( 2) 它不改变 ， D11 D22 D33 0 只有5个独立分量
1 1 [ 3x x ( x )dV ] : *证明： 40 6 R 1 1 1 1 2 [ 3x x ( x )dV : R l : ( x )dV ] 40 6 R R 2 1 1 1 1 0 ( R 0) 2 [ (3x x R l ) ( x )dV ] : R 40 6 R
( x)dV 3. 小区域电荷分布产生的电势 ( x ) 4 0 r
1
( x)
1 1 1 1 ( x )[ x x x : ]dV 40 V R R 2 R
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( x)
等效电偶极矩 两个点电荷产生的电势。
p 产生的电势。最简单的体系为
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( 2)
1 1 1 1 2 1 D : Dij 4 0 6 R 4 0 6 ij xi x j R 1
D : Dij ei e j :
1 2. 的麦克劳林展开 r
1 df (0) 1 df (0) 2 f ( x) f (0) x x 2 1! dx 2! dx (2) 三元函数的麦克劳林展开
f ( x ) f ( x1 , x2 , x3 ) 1 f (0,0,0) f (0,0,0) f (0,0,0) f (0,0,0) ( x1 x2 x3 ) 1! x1 x2 x3




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2．带电体系为小区域时相互作用能的展开
将 e ( x )对电荷
3
所在小区域展开为麦克劳林级数
e (0) 1 3 2e (0) e ( x ) e (0) xi xi x j xi 2! i , j 1 xi x j i 1
( p )Ee
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力矩：
假定在外场作用下 p 不变，设 为 p 与 E 之
间的夹角，则 (1)
W L ( pEe cos ) pEe sin
V
电四极矩张量
Dij 3xi x j ( x )dr
Q 1
i 1 3, j 1 3
1 1 1 1 (x) p D : 4 0 R 4 0 R 4 0 6 R

(0)

(1)

(2)

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二、电多极矩
1. 展开式的物理意义

( 0)

Q 40 R
等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。

(1)
1 1 1 R pR p p ( 3 ) 40 R 40 R 40 R 3
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1 f (0) ( x1 x2 x3 ) f (0) 1! x1 x2 x3 1 2 ( x1 x2 x3 ) f (0) 2! x1 x2 x3 3 1 2 f (0) xi f (0) xi x j f (0) xi 2 ij xi x j i 1 1 f (0) ( x ) f (0) ( x ) 2 f (0) 2 1 (3) 将 在 x 0 点展开 r
1



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电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按 （+，-，-，+）排列，可看作 一对正负电偶极子。
z
b +
r+ r-
P
体系总电荷、总电偶极矩为零 依定义 D33 0 其它分量均为零
l ab P上 Q(b a)ez p P下 Q(b a)ez p
1 1 1 1 f ( x x), x 0, r x x r R 1 2 f ( x x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) 2
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第二章第六节
电多极矩
§2.6
电多极矩
主要内容 一、电势的多极展开 二、电多极矩
三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)
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一、电势的多极展开
若已知 ( x ) ，原则上可通过 ( x)dV (x) 求电势。 4 r 0
一般若体电荷分布不均匀或 区域不规则，积分十分困难 （用计算机可数值求解）。