2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 章末复习课

章末复习课

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核心归纳

1．集合的“三性”

正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意．2．集合与集合之间的关系

集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A?B时，不要遗漏A＝?.

3．集合与集合之间的运算

并、交、补是集合间的基本运算，V enn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

4．函数与映射的概念

(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在

B 中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A 到B 的映射，记作f ：A →B .若f ：A →B 是从A 到B 的映射，且B 中任一元素在A 中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A 到B 的一一映射．

(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A ，B 都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系．两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数．

5．函数的单调性

(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题．深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键．

(2)函数单调性的证明

根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下： ①取值：任取x 1，x 2∈D ，且x 10；

②作差变形：Δy ＝y 2－y 1＝f (x 2)－f (x 1)＝…，向有利于判断差的符号的方向变形； ③判断符号：确定Δy 的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； ④下结论：根据定义得出结论． (3)证明函数单调性的等价变形：

①f (x )是单调递增函数?任意x 1

x 1－x 2

>0?[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－

x 2)>0；

②f (x )是单调递减函数?任意x 1f (x 2)?f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

<0?[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－

x 2)<0.

6．函数的奇偶性

判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f (x )的定义域是否关于原点对称，再检验f (－x )与f (x )的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y 轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．

要点一 集合的基本概念 解决集合的概念问题的两个注意点

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素．然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么．

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【例1】 集合M ＝{x |ax 2－3x －2＝0，a ∈R }中只有一个元素，求a 的取值范围． 解 由题意可知若集合M 中只有一个元素，则方程ax 2－3x －2＝0只有一个根，当a ＝0时，方程为－3x －2＝0，只有一个根x ＝－2

3

；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×(－2)＝0，得a

＝－98.综上所述，a 的取值范围是???

?

??0，－98.

【训练1】 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．

解析 因为3∈A ，则m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，当m ＋2＝3，即m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不符合题意，故舍去；当2m 2＋m ＝3，即m ＝1或m ＝－32，m ＝1不合题意，若m ＝－32，m

＋2≠2m 2＋m ，满足题意，故m ＝－3

2

.

答案 －3

2

要点二 集合间的基本关系 两集合间关系的判断 (1)定义法．

①判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ?B ，否则A 不是B 的子集；

②判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ?A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ?B ，又有B ?A ，则A ＝B .

(2)数形结合法．

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值．

【例2】 已知集合A ＝{x |2x －3≥3x ＋5}，B ＝{x |x ≤2m －1}，若A ?B ，则实数m 的取值范围是________．

解析 解不等式2x －3≥3x ＋5得x ≤－8，即A ＝{x |x ≤－8}，因为A ?B ，所以2m －1≥－8，解得m ≥－7

2

.

答案 m ≥－7

2

【训练2】 已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ?B ，则m 的值为( ) A ．2

B ．－1

C ．－1或2

D ．2或 2

解析 由x ＝x 2－2，可得?????

x ≥0，x 2

－2≥0，

x ＝x 2－2，解得x ＝2，∴A ＝{2}，又∵B ＝{1，m }，A ?

B ，∴m ＝2.

答案 A

(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简．

(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集．

方向1 集合的运算

【例3－1】设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)等于() A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}

解析U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，所以?U(A∪B)＝{2,4}．

答案 D

方向2 利用集合运算求参数

【例3－2】(1)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()

A．0或3 B．0或3 C．1或3D．1或3

(2)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是()

A．a≤1B．a≥1C．a≥0D．a≤0

解析(1)由A∪B＝A知B?A，所以m＝3或m＝m，若m＝3，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A；若m＝m，即m＝1或0，当m＝1时，m＝1，不合题意，舍去，当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A，故选B．

(2)因为A∩B＝?，所以0?B，且1?B，所以a≥1.

答案(1)B(2)B

【训练3】(1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于()

A．{x∈R|x≤2}B．{x∈R|1≤x≤2}

C．{x∈R|－2≤x≤2}D．{x∈R|－2≤x≤1}

(2)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________．

解析(1)A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．

(2)因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k 2}，

且M∩N≠?，所以－k

2≥－3?k≤6.

答案(1)D(2)k≤6

要点四求函数的定义域

求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． (3)复合函数问题：

①若f (x )的定义域为[a ，b ]，f (g (x ))的定义域应由a ≤g (x )≤b 解出； ②若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域． 注意：①f (x )中的x 与f (g (x ))中的g (x )地位相同； ②定义域所指永远是x 的范围．

【例4】 (1)函数f (x )＝2x 2

1－x ＋(2x －1)0的定义域为( )

A ．????－∞，1

2 B ．????

12，1

C ．???

?－12，1

2 D ．?

???－∞，12∪????1

2，1 (2)已知函数y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则y ＝f (1－3x )的定义域为( ) A ．????－1

3，0 B ．????－1

3，3 C ．[0,1]

D ．???

?－1

3，1 解析 (1)由题意知?????

1－x >0，2x －1≠0，

解得x <1且x ≠1

2，即f (x )的定义域是????－∞，12∪????12，1. (2)由y ＝f (x －1)的定义域是[－1,2]，则x －1∈[－2,1]，即f (x )的定义域是[－2,1]，令－2≤1－3x ≤1解得0≤x ≤1，即y ＝f (1－3x )的定义域为[0,1]．

答案 (1)D (2)C

【训练4】 已知函数f (x )＝－2x ＋3的值域为[－5,5]，则它的定义域为( ) A ．[－5,5] B ．[－7,13]

C ．[－1,4]

D ．[－4,1]

解析 可以画出函数y ＝－2x ＋3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f (x )＝－5时，x ＝4；当f (x )＝5时，x ＝－1，所以定义域为[－1,4]．

答案 C

要点五 求函数的解析式

求函数解析式的题型与相应的解法

(1)已知形如f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式，使用换元法或配凑法． (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)． (3)含f (x )与f (－x )或f (x )与f ????

1x ，使用解方程组法．

(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法． 【例5】 (1)已知f (2x －3)＝2x 2－3x ，则f (x )＝________. (2)已知f (x )－3f (－x )＝2x －1，则f (x )＝________.

解析 (1)令2x －3＝t ，得x ＝12(t ＋3)，则f (t )＝2×14(t ＋3)2－32(t ＋3)＝12t 2＋32t ，所以f (x )＝

1

2x 2＋3

2

x .

(2)因为f (x )－3f (－x )＝2x －1，以－x 代替x 得f (－x )－3f (x )＝－2x －1，两式联立得f (x )＝

1

2x ＋12

. 答案 (1)12x 2＋32x (2)12x ＋1

2

【训练5】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋

b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，所以????? a ＝2，b ＋5a ＝17，解得?????

a ＝2，

b ＝7，

所以f (x )＝2x ＋7.

要点六 函数的概念与性质 函数单调性与奇偶性应用的常见题型

(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性． (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间． (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式． (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围． 【例6】 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝5

3.

(1)求实数m 和n 的值；

(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，

∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2

－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0.

又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.

因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋2

3x .

任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2

3

(x 1－x 2)????1－1x 1x 2

＝2

3(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1，

∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53

.

【训练6】 设f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (－x )＝f (x )，f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)

解 ∵f (x )是定义在R 上的函数，且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．

又f (x )在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 又2a 2＋a ＋1＝2????a ＋142＋7

8>0， 2a 2－4a ＋3＝2(a －1)2＋1>0， 由f (2a 2＋a ＋1)2a 2－4a ＋3， 得5a >2，a >2

5.

∴a 的取值范围是a >2

5.

要点七 函数的图象及应用 作函数图象的方法

(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线． (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转． ①平移：y ＝f (x ) ――――→左加右减

y ＝f (x ±h )； y ＝f (x ) ――――→上加下减

y ＝f (x )±k .(其中h >0，k >0) ②对称：y ＝f (x )←――――→关于y 轴对称

y ＝f (－x )； y ＝f (x )←――――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )； y ＝f (x ) ←―――――→关于原点轴对称y ＝－f (－x )．

特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图． 【例7】 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋a ，其中x ∈[－3,3]． (1)判断函数f (x )的奇偶性．

(2)若a ＝－1，试说明函数f (x )的单调性，并求出函数f (x )的值域． 解 (1)因为定义域[－3,3]关于原点对称， f (－x )＝(－x )2－2|－x |＋a ＝x 2－2|x |＋a ＝f (x )， 即f (－x )＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．

(2)当0≤x ≤3时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2； 当－3≤x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.

即f (x )＝?

????

(x －1)2

－2，0≤x ≤3，

(x ＋1)2

－2，－3≤x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示．

函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，(－1,0)，[0,1]，(1,3]．

f (x )在区间[－3，－1]，[0,1]上为减函数，在(－1,0)，(1,3]上为增函数． 当0≤x ≤3时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为f (1)＝－2，最大值为f (3)＝2； 当－3≤x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为f (－1)＝－2，最大值为f (－3)＝2. 故函数f (x )的值域为[－2,2]．

【训练7】 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋1

2，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )

的最小值是________．

解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋1

2，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对

某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋1

2

，x 2－4x ＋3中最大的一个．

如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．

从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝????

?

x 2－4x ＋3 (x ≤0)，

－x ＋3 (0

2 (1

－4x ＋3 (x >5).

f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2. 答案 2